Якщо тіло одночасно бере участь в обертальному та поступальному рухові, його кінетична енергія w буде дорівнювати:

, (5.19)

де J - момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр маси тіла, m - маса тіла, , V - кутова і лінійна швидкість тіла.

5.5. Основне рівняння динаміки обертального руху.

Знайдемо роботу, яку виконує зовнішня сила при обертанні абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі.

Нехай за час dt під дією сили F абсолютно тверде тіло повернеться на кут d (див. рис. 5.6). Тоді довжина шляху, який пройшла точка за цей час, буде дорівнювати: dS = r_i d.

Елементарну роботу по обертанню тіла на нескінченно малий кут d можна визначити таким чином:

Але FL = M - це модуль моменту сили, що діє на тіло. Тоді:

, (5.20)

З іншого боку зовнішня робота при обертанні тіла йде на зростання його кінетичної енергії, тобто:

, (5.21)

Рис. 5.6.

Значення роботи не може залежати від способу її визначення, і тому ми маємо право порівняти праві частини у рівняннях (5.20) та (5.21):

, (5.22)

Поділимо обидві частини вище наведеного рівняння на dt та отримаємо:

, (5.23)

Враховуючи те, що: =d/dt, а =d/dt, з вище наведеного рівняння маємо:

, (5.24)

Таким чином, момент сили, що діє на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла на його кутове прискорення.

Рівняння (5.24) отримало назву: основне рівняння динаміки обертального руху тіла.

Формула (5.24) аналогічна по суті другому закону Ньютона для поступального руху твердого тіла. При цьому функцію маси тіла при обертальному рухові виконує момент інерції тіла, функцію лінійного прискорення - кутове прискорення, а функцію сили - момент сили.

5

46

.6. Гіроскоп. Гіроскопічний ефект.

У твердого тіла є три взаємно перпендикулярні осі обертання, що проходять через його центр мас, які не змінюють своєї орієнтації у просторі до тих пір, поки на тіло не подіють зовнішні сили. Ці осі обертання отримали назву вільних. Як правило, вільні осі тіла співпадають з осями їх симетрії. Масивне тіло, яке обертається з великою кутовою швидкістю навколо однієї з вільних осей, отримало назву гіроскопа.

Рис. 5.8.

Якщо гіроскоп обертається навколо своєї вільної осі, то його м

49

омент сили тяжіння буде дорівнювати нулю. Тоді, згідно з виразами (5.14) та (5.15), момент імпульсу, а значить і кутова швидкість гіроскопа, не буде змінюватись з часом, тобто: L = J = const. А це значить, що теоретично гіроскоп буде обертатись навколо своєї вільної осі довічно.

Рис. 5.7.

Розглянемо, як буде реагувати гіроскоп, що обертається навколо осі ХО, якщо на нього подіє зовнішня сила F (див рис. 5.7). У цьому разі гіроскоп повернеться не навколо осі ВВ, а навколо осі АА. Це трапляється тому, що згідно з виразом (5.14) за час dt гіроскоп отримає момент імпульсу dL:

, (5.25)

Тобто напрямок вектора dL співпадає з напрямком вектора моменту сили M.

При цьому напрямок вектора М, згідно з виразом (5.1), нормальний до площини вектора сили і визначається за правилом векторного добутку.

Явище відхилення осі гіроскопа у напрямку, перпендикулярному напрямку дії збурюючої сили, отримало назву гіроскопічного ефекту.

Гіроскопічний ефект приводить до того, що добре розкручена дзиґа не буде перевертатися під дією її сили тяжіння (див. рис. 5.8). Дія сили тяжіння приведе лише до того, що вісь дзиґи почне повертатися, описуючи у просторі конус. Такий рух осі дзиґи отримав назву регулярної прецесії.

Кутова швидкість регулярної прецесії гіроскопа, за умови, що _пр , визначається з наступної формули:

, (5.26)

де m - маса дзиґи разом з віссю,  - кутова швидкість дзиґи, J - момент її інерції, b - відстань від точки опори до центру мас дзиґи.

Я

50

кщо гіроскопу надати значну кутову швидкість, то відповідно до виразу (5.14) для зміни орієнтації у просторі його моменту імпульсу, а значить і осі обертання, треба докласти значні зовнішні сили. А це значить, що вісь гіроскопа не змінить своєї орієнтації у просторі у разі будь-яких випадкових дій на нього зовнішніх сил.

Завдяки цій властивості гіроскопи дуже широко застосовуються в авіаційному та космічному приладобудуванні (гірокомпас, гірогоризонт і т. ін.).

Але найважливіше застосування гіроскопів - у різноманітних пристроях автоматичного керування рухом літаків та ракет.

За будь-якого випадкового відхилення ракети від заданого курсу, положення осі обертання гіроскопа, що знаходиться на цій ракеті, не змінюється, а змінює своє положення у просторі тільки підвіска, що утримує гіроскоп. Ці зміни за допомогою відповідних технічних пристроїв фіксуються і автоматично вмикають рулі керування напрямком польоту ракети, котрі й повертають її на заданий курс.