5.3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу.

Моментом імпульсу окремої частинки відносно нерухомої точки О називається векторний добуток радіуса-вектора r, що проведений з точки О, на імпульс P цієї матеріальної точки:

, (5.10)

Модуль вектора моменту імпульсу дорівнює:

L = r p sin = r m V sin,

де  - кут між радіус-вектором і вектором імпульсу (див. рис. 5.4).

Рис. 5.4.

Моментом імпульсу тіла відносно осі обертання є сума моментів імпульсу окремих частинок цього тіла:

, (5.11)

У цій формулі ми врахували, що при рівномірному обертанні тіла, кут ά завжди дорівнює 90⁰, а значить sin = 1.

Згадавши вираз (1.22), останню формулу можна перетворити до виразу (5.12).

45

, (5.12)

Таким чином, момент імпульсу твердого тіла відносно деякої осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї ж осі на його кутову швидкість.

А тепер продиференціюємо рівняння (5.10) за часом як складну функцію і отримаємо:

,

Враховуючи те, що m(dV/dt) = F, а dr/dt = V, то вище наведене співвідношення, можна перетворити до такого вигляду:

,

Перший доданок у правій частині цього виразу є момент сили, що прикладена до тіла, а другий доданок - це векторний добуток колінеарних векторів, який дорівнює нулю.

Внаслідок цього маємо:

, (5.13)

Таким чином, швидкість зміни з часом моменту імпульсу дорівнює моменту сили, що діє на тіло.

У загальному випадку під у рівнянні (5.13) слід розуміти суму моментів внутрішніх і зовнішніх сил, які діють на тверді тіла, що входять до системи.

Але сума моментів внутрішніх сил для будь-якої системи тіл завжди дорівнює нулю, бо згідно з третім законом Ньютона ці сили попарно урівноважують одна одну. Тому сума моментів внутрішніх сил для будь-якої системи тіл завжди дорівнює нулю:

, (5.14)

Тому, якщо система ізольована і зовнішні сили не діють, то права частина у рівнянні (5.13) дорівнює нулю. Тоді маємо:

46

, (5.15)

А значить можна стверджувати, що в ізольованій системі вектор моменту імпульсу не змінюються з часом:

, (5.16)

Вираз (5.16) представляє собою закон збереження моменту імпульсу: сумарний момент імпульсу в ізольованій механічній системі з часом не змінюється, які б процеси не відбувались в цій системі.

Закон збереження моменту імпульсу зобов'язаний своєму існуванню такій властивості простору, як його ізотропність. Ізотропність простору означає рівнозначність його фізичних властивостей за будь-яким напрямком.

Одиниця виміру моменту імпульсу у системі СІ: [L] = [J] = [mr²] = [кгм² c^-1].

5.4. Кінетична енергія тіла, що обертається.

Розглянемо питання про кінетичну енергію тіла, що обертається навколо деякої осі.

Рис. 5.5.

Для цього розіб’ємо тверде тіло на елементарні об’єми з елементарними масами m_i , які знаходяться на відстані r_i від осі обертання. Так як ми розглядаємо абсолютно тверде тіло, то кутова швидкість усіх елементарних мас тіла буде однакова _і = const (див. рис. 5.5).

Для будь-якої елементарної маси лінійну швидкість її руху можна визначити таким чином: , тоді її кінетична енергія буде дорівнювати:

, (5.17)

К

48

47

інетична енергія всього тіла складається з кінетичної енергії окремих його частин, тому отримаємо:

,

Тоді, з урахуванням виразу (5.4), з вище наведеного виразу отримаємо формулу для визначення кінетичної енергії тіла, що обертається:

, (5.18)