4.4. Закон збереження енергії.

Повною енергією Е механічної системи називається сума її кінетичної та потенціальної енергій:

Е = W_К + U , (4.18)

Розглянемо ізольовану механічну систему взаємодіючих між собою тіл, в якій тіло масою m під дією сили F рухається з прискоренням а і за час dt пройшло шлях ds.

Згідно з другим законом Ньютона маємо: F = ma = m (dV/dt).

Помножимо обидві частини цього рівняння на dx, та враховуючи, що dx/dt = V, отримаємо:

(4.19)

В

37

раховуючи, що Fdx = - dU, маємо:

- dU = dW_К ,

Звідки:

dU + dW_К = d(U + W_К) = 0 , (4.20)

Враховуючи, що диференціал від сталої завжди дорівнює нулю, з (4.20) робимо висновок:

Е = W_К + U = const , (4.21)

Вираз (4.21) і є законом збереження механічної енергії: повна механічна енергія ізольованої системи тіл, що знаходиться під дією тільки консервативних сил, не змінюється з часом, тобто залишається постійною.

Однак, завжди слід пам’ятати, що лише загальний запас енергії ізольованої системи лишається без зміни з часом, а енергія кожного окремого тіла може в рівних кількостях передаватися від одного тіла до іншого і перетворюватися з одних видів в інші.

При наявності неконсервативних сил повна механічна енергія системи не залишається постійною. Наявність таких неконсервативних сил, як сила тертя, приводить до того, що частина механічної енергії системи перетворюється у внутрішню енергію тіл, тобто приводить до їхнього нагрівання. Такий процес зменшення запасу механічної енергії системи тіл називається дисипацією енергії.

Закон збереження енергії зобов'язаний своєму існуванню такій властивості Всесвіту, як однорідність часу, тобто рівнозначності усіх інтервалів часу незалежно від моменту їх вимірювання.

4.5. Удар. Абсолютно пружні та непружні удари.

Ударом називають процес короткочасної взаємодії тіл, що призводить до зміни їх руху.

Удар протікає за дуже короткий час протягом 10^-2 - 10^-8 с.

Суть удару полягає у тому, що кінетична енергія тіл, які рухались до удару, перетворюється у потенціальну енергію їх пружного деформування, а потім відбувається зворотне перетворення потенціальної енергії деформування у кінетичну енергію руху.

У

38

залежності від характеру деформування тіл при ударі розрізняють два граничні види ударів.

Абсолютно пружним ударом називають такий удар, після якого виникла в тілах пружна деформація повністю щезає.

При абсолютно непружному ударі деформація тіл є повністю незворотною.

Лінією удару називають пряму, що співпадає з нормаллю до поверхонь тіл у точці їх торкання при ударі.

Удар називають центральним, якщо лінія удару проходить через центри мас тіл, що ударяються. Якщо вектори швидкостей руху тіл до удару лежать на лінії удару, то удар буде прямим, а в іншому випадку - косим.

Відношення нормальних складових відносної швидкості тіла після удару V¹ до відносної швидкості тіла до удару V, отримало назву коефіцієнта відновлювання .

, (4.22)

Якщо  = 0, тоді удар є абсолютно непружним, а якщо  = 1 - удар абсолютно пружний.

При зіткненні тіл, що виготовлені з реальної речовини, значення коефіцієнта відновлювання знаходиться у межах 0 <  < 1.

1). Абсолютно пружний удар.

Розглянемо випадок центрального абсолютно пружного удару двох однорідних тіл масами m₁ та m₂, що рухались до зіткнення зі швидкостями V₁ і V₂, а після зіткнення - зі швидкостями U₁ і U₂ (див. рис. 4.6).

У випадку абсолютно пружного удару виконуються закони збереження імпульсу та енергії:

, (4.23)

, (4.24)

Рис. 4.6.

С

39

умісне розвязання рівнянь (4.23) та (4.24) дає можливість одержати формулу для розрахунку швидкості тіл після удару:

, (4.25)

, (4.26)

Проаналізуємо отримані вирази.

Рис. 4.7.

Розглянемо випадок, коли друге тіло до абсолютно пружного удару не рухалось, тобто V₂ = 0. Тоді формули (4.25) і (4.26) трансформуються до такого вигляду:

, (4.27)

, (4.28)

Припустимо, що маси тіл однакові, тобто m₁ = m₂, наприклад більярдні кулі, тоді з формул (4.27) і (4.28) маємо:

U₁ = 0 , та U₂ = V₁ ,

Тобто у випадку абсолютно пружного удару перша куля після зіткнення зупиниться, а друга, що була до цього нерухомою, почне рухатись зі швидкістю та напрямком, які були у першої кулі перед ударом.

Далі припустимо, що m₂ >> m₁ (наприклад, удар більярдної кулі об стінку), тоді з формул (4.27) і (4.28) маємо:

U₁ = - V₁ , та U₂  0 ,

Тобто більярдна куля після абсолютно пружного удару об стінку буде рухатися з тією ж швидкістю, але у протилежному напрямку.

2

40

). Абсолютно непружний удар.

Розглянемо випадок центрального абсолютно непружного удару двох однорідних тіл масами m₁ та m₂, що рухались до зіткнення зі швидкостями V₁ і V₂.

Внаслідок абсолютно непружного удару обидва тіла після удару будуть рухатись як одне ціле з масою, що дорівнює m₃ = m₂ + m₁, та швидкістю U (див. рис. 4.7).

Закон збереження імпульсу для абсолютно непружного удару у даному випадку матиме такий вигляд:

,

Звідки визначаємо швидкість руху тіл після удару:

, (4.29)

Тобто після абсолютно непружного удару нове тіло буде рухатися у напрямку, в якому рухалось тіло, що мало більший імпульс до зіткнення.

Втрата сумарної кінетичної енергії тіл при непружному ударі, що витрачається на їх деформацію та зміну внутрішньої енергії, отримала назву - робота деформації А_Д.

У відповідності з цього визначення обчислимо роботу деформації таким чином:

,

Або:

(4.30)

Проаналізуємо отриманий вираз.

У випадку коли друге тіло до удару було нерухомим (V₂ = 0), швидкість тіл після непружного удару U та робота їх деформації А_Д можуть буди визначені з виразів (4.31).