4 34 .3. Потенціальна енергія тіла.

В

34

заємодія між тілами може виникати не лише при їхньому безпосередньому контакті. Прикладом неконтактних взаємодій є притягання планет за рахунок гравітації. Неконтактні взаємодії здійснюються за допомогою силових полів, які є однією з форм існування матерії. Серед них виділяють так звані потенціальні поля, в яких діють сили, що отримали назву консервативних.

Потенціальними називають поля, в яких робота діючих сил не залежить від форми траєкторії та закону руху по ній тіла, а визначається його початковим та кінцевим положенням (див. рис. 4.3).

Прикладом консервативних сил можуть бути гравітаційні та електростатичні сили. У протилежному випадку поля називаються непотенціальними, а сили, що в них діють - дисипативними.

Рис. 4.3.

Роботу консервативних сил можна уявити у вигляді різниці двох параметрів U₁ та U₂, значення яких залежить від початкового і кінцевого положення тіла:

A= U₁ - U₂ = -(U₂ - U₁) = -∆U, (4.10)

Або у диференціальній формі:

dA = - dU , (4.11)

Параметр U_і в цій формулі і називається потенціальною енергією тіла.

Знак мінус у цих формулах означає, що робота консервативних сил, які прикладені до тіла, здійснюється за рахунок зменшення його потенціальної енергії.

Потенціальна енергія тіла визначається роботою, яку необхідно здійснити проти консервативних сил потенціального поля для того, щоб перемістити тіло з початкового положення, де значення енергії вважається рівним нулю, в кінцеве.

Значення потенціальної енергії можна визначити тільки з точністю до сталої. Дійсно, якщо в формулі (4.10) до кожного з значень U_і додати довільну сталу, то рівність збережеться.

Р

35

азом з тим сили потенціального поля виконують роботу, яка у відповідності до загальних визначень роботи дорівнює:

dA = F_X dX ,

Порівняння правих частин вище приведеного виразу та виразу (4.11) дає:

Рис. 4.5.

, (4.12)

У випадку руху тіла в просторі рівняння (4.12) має такий вигляд:

, (4.13)

Вище наведений оператор, що знаходиться у дужках, називається градієнтом скалярної величини:

, (4.14)

Тобто сила, що діє на тіло у потенціальному полі, дорівнює градієнту його потенціальної енергії з протилежним знаком:

, (4.15)

Якщо механічна система складається з декількох тіл, то потенціальна енергія такої системи дорівнює сумі потенціальних енергій окремих тіл цієї системи.

Конкретний вигляд функції, що визначає значення потенціальної енергії, залежить від характеру силового поля.

1). Потенціальна енергія тіла у гравітаційному полі.

Нехай тіло масою m завдяки силі F підіймається вгору на висоту h (див. рис. 4.4). Сила F здійснює роботу проти сили тяжіння, тобто:

F = - P = - mg.

Тоді згідно з (4.11) маємо: - mg dx = - dU ,

Інтегруємо це рівняння у відповідних границях від 0 до h та отримаємо:

36

, (4.16)

2). Потенціальна енергія пружно деформованого тіла.

Рис. 4.4.

Нехай до стрижня, що закріплений одним з кінців, прикладена деяка сила F. Під дією цієї сили стрижень пружно деформується (див. рис. 4.5).

У цьому випадку сила F здійснює роботу проти сили пружності і дорівнює:

F = - F_упр = -(- k x) = k x ,

де х – подовження стрижня, k - модуль пружності речовини стрижня.

Інтегруємо це співвідношення у межах від 0 до Х:

, (4.17)

У цілому можна сказати, що кінетична енергія - це енергія руху, а потенціальна - це енергія взаємодії.

Потенціальна енергія може мати як додатне так і від’ємне значення і має такі ж самі одиниці виміру у системі СІ, що й робота.