Класична механіка. . Глава 4. Робота та енергія. .

Г

31

ЛАВА 4.

Робота та енергія

4.1. Енергія, робота сили та потужність.

Енергія - це універсальна кількісна міра руху та взаємодії усіх без винятку видів матерії. Енергія - величина скалярна. У відповідності до окремих форм руху матерії відрізняють і різноманітні види енергії: механічну, електромагнітну, хімічну, ядерну і т. д.

Кількісна оцінка процесу обміну енергією між взаємодіючими тілами в механіці проводиться з допомогою параметра, який отримав назву - робота сили.

Нехай тіло, рухаючись під дією зовнішньої сили по довільній траєкторії від точки 1 до точки 2, виконало деяку роботу A (див. рис 4.1). Коли діюча на тіло сила неоднакова в різних точках траєкторії руху тіла, тоді весь шлях слід розбити на елементарні відрізки так, щоб на кожному з них силу F_і можна було б вважати постійною.

Рис. 4.1.

На цьому елементарному відрізку тіло зробило нескінченно мале переміщення , модуль якого за цих умов дорівнює шляху dS. Тоді роботою сили dA на цьому відрізку шляху буде називатися скалярний добуток:

, (4.1)

Розкривши скалярний добуток, маємо:

, (4.2)

де _і - кут між векторами F_і та dr.

З рівняння (4.2) можна зробити висновок: якщо  < /2, тоді робота сили додатна, якщо  > /2, тоді робота сили від'ємна.

У випадку, коли  = /2, робота сили завжди дорівнює нулю, незалежно від значення сили та шляху, пройденого тілом.

П

32

овна робота при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2 дорівнює алгебраїчній сумі елементарних робіт на всіх нескінченно малих відрізках траєкторії між цими точками і визначається через криволінійний інтеграл наступного вигляду:

, (4.3)

Потужність - це фізична величина, що визначає швидкість виконання роботи. Середня потужність дорівнює відношенню роботи сили A до проміжку часу t, за який вона виконана:

, (4.4)

Миттєва потужність дорівнює границі середньої потужності за умов, що t 0:

(4.5)

Таким чином миттєва потужність дорівнює першій похідній за часом від роботи сили.

За допомогою формули (4.1) вираз (4.5) перетворимо до такого вигляду:

,

Тобто миттєва потужність дорівнює скалярному добутку сили, що діє на тіло в даний час, на швидкість, з якою воно рухається.

Якщо потужність деякої сили не є постійною, а буде змінюватись з часом t, то робота сили у цьому випадку буде визначатись з урахуванням співвідношення (4.5) таким чином:

, (4.6)

У міжнародній системі СІ робота сили вимірюється у джоулях: [А] = [F S] = [Н м] = [Дж], а потужність у ватах: [N] = [A/t] = [Дж/c] = [Вт].

4 33 .2. Кінетична енергія тіла.

Кінетична енергія тіла є мірою його механічного руху та визначається роботою, яку необхідно виконати, щоб отримати даний стан тіла.

Тобто:

, (4.7)

Обчислимо роботу, яку виконує прикладена до тіла масою m сила F при переміщенні тіла з початкової точки 1 в кінцеву 2 та зміні його швидкості руху від 0 до V (див. рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Для визначення цієї роботи dА скористаємося скалярною формою запису другого закону Ньютона та врахуємо, що а = dV/dt.

Тоді з виразу (4.2) отримаємо:

,

Врахувавши, що dS/dt = V, маємо:

,

Інтегруємо це співвідношення у межах від 0 до V:

, (4.8)

З цього виразу неважко зробити висновок, що чисельне значення кінетичної енергії ніколи не буде від’ємним та буде неоднакове у різних системах відліку, бо модуль швидкості тіла залежить від вибору системи відліку.

З урахуванням всього вище наведеного можна зробити висновок, що зміна кінетичної енергії тіла дорівнює повній роботі діючих на нього сил:

, (4.9)

Кінетична енергія має ті ж самі одиниці виміру, що і робота сили, тобто у системі СІ вимірюється у джоулях.