1.2. Швидкість матеріальної точки.

Для характеристики руху матеріальної точки використовується векторна величина - швидкість, яка визначає як стрімкість руху, так і його напрямок в даний момент часу.

Нехай у момент часу t положення точки визначається радіусом-вектором r. За проміжок часу t точка пройде шлях S та отримає переміщення (див. рис. 1.3).

Середньою швидкістю матеріальної точки називається відношення вектора її переміщення до проміжку часу t, за який це переміщення здійснене:

 , (1.6)

Межа середньої швидкості матеріальної точки за умови, що час t  0, дорівнює її миттєвій швидкості V:

, (1.7)

Таким чином, миттєва швидкість дорівнює першій похідній від радіуса-вектора за часом.

З

9

формул 1.6 та 1.7 неважко зробити висновок, що напрямок вектора середньої швидкості збігається з напрямком вектора переміщення, а вектор миттєвої швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху точки (див. рис. 1.3).

Рис. 1.4.

Через те, що при t  0, модуль радіуса-вектора матеріальної точки практично дорівнює довжині шляху, модуль вектора миттєвої швидкості буде дорівнювати:

, (1.8)

Тобто модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній від шляху за часом.

Вектор швидкості можна розкласти на три основні складові V_X, V_Y, V_Z по осях декартової системи координат, тобто привести його у такому вигляді:

, (1.9)

Знаючи модуль вектора миттєвої швидкості в кожний момент часу, можна обчислити шлях, який пройшла матеріальна точка за деякий проміжок часу у випадку, коли її швидкість не залишається постійною, а змінюється з часом. Для цього з виразу (1.8) маємо:

dS = V(t) dt ,

Інтегруємо цей вираз у границях від t₁ до t₂ та отримаємо:

, (1.10)

У випадку рівномірного руху матеріальної точки, тобто коли V = const, з вище наведеного виразу отримаємо:

, (1.11)

Отриманий вираз добре знайомий з елементарної кінематики.

У міжнародній системі СІ швидкість руху має таку розмірність: [v] = [r / t] = [мс^-1].

1 10 .3. Прискорення та його складові.

Для характеристики зміни швидкості руху матеріальної точки з часом, як за модулем так і за напрямком, використовується вектор прискорення.

Розглянемо рух матеріальної точки по довільній траєкторії (див. рис. 1.4). Припустимо, що за час t точка перемістилася з положення А в положення В, пройшовши шлях S. При цьому швидкість її руху зросла з до , тобто на .

Середнім прискоренням називається векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості до проміжку часу t, за який вона сталась:

, (1.12)

Миттєвим прискоренням матеріальної точки є вектор, що дорівнює межі середнього прискорення за умови, що t  0:

, (1.13)

Тоді з урахуванням виразу (1.7) отримаємо:

, (1.14)

Таким чином, миттєве прискорення матеріальної точки дорівнює першій похідній від вектора швидкості, або другій похідній від радіуса-вектора за часом.

А

11

тепер виконаємо паралельне перенесення вектора так, щоб його початок співпав з початком вектора . Різницю цих векторів, тобто вектор , розкладемо на дві складові: та (див. рис. 1.4). З цього рисунка видно, що вектор несе відповідальність за зміну швидкості за напрямком, а вектор - за зміну вектора швидкості за її модулем.

Межа відношення модуля вектора до проміжку часу t, за який він змінився, за умови, що t  0, отримала назву тангенціальне прискорення а_:

, (1.16)

Тобто тангенціальне прискорення дорівнює першій похідній від швидкості матеріальної точки за часом.

Зробимо більш детальний аналіз геометричної схеми, яка наведена на рис. 1.4. З подібності трикутників АВО і АСД, довести яку пропонується читачам самостійно, маємо: АВ/R = V_n/V₁.

Враховуючи, що за умови t  0, АВ = V t, отримаємо:

 ,

де R - радіус кривизни траєкторії у даній точці.

Межа відношення модуля вектора V_n до проміжку часу t, за який він змінився, за умови, що t  0, отримала назву нормальне прискорення а_n. При t  0 V₁  V, а значить:

, (1.17)

Вважаючи на те, що точки А і В (рис. 1.4) за умови t  0, будуть на дуже малій відстані одна від одної, можна довести, що . А це у свою чергу означає взаємну перпендикулярність нормального та тангенціального прискорення.

Т

12

12

аким чином, вектор тангенціального прискорення дотичний до траєкторії, а вектор нормального прискорення перпендикулярний до т

12

раєкторії у даній точці та спрямований вздовж радіуса кривизни траєкторії до її центра (див. рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Величина, обернена радіусу кривизни траєкторії руху матеріальної точки, називається кривизною цієї траєкторії.

Вектор повного прискорення та його модуль знаходять за такими формулами:

, (1.18)

, (1.19)

А тепер ще раз підкреслимо, що тангенціальна складова прискорення характеризує зміну швидкості за модулем, а нормальна - зміну швидкості за напрямком.

Розмірність прискорення у системі СІ: [a] = [V / t] = [м с^-2].