10.6. Распределение интенсивности света в дифракционном спектре от одной щели [11, с. 229-230]

Направим плоскую монохроматическую волну на щель ширины и длины ортогонально плоскости, в которой расположена щель (рис. 10.24). Пусть малый элемент щели посылает в направлении под углом элементар­ную волну . Полагая пространственную компоненту фазы вол­ны в направлении ( ) в точке ( ) экрана за условный "0" отсчета, значение можно записать в виде:

. (10.22)

где . Подставляя в (10.20) и, разделяя переменные и , преобразуем к виду:

. (10.23)

Интегрируя (10.23) по в пределах от (0) до ( ), находим напряженность электрического поля в волне, дифрагирующей под углом :

(10.24)

Таким образом, согласно (10.24),

(10.25)

Введем обозначение

, (10.26)

тогда

. (10.27)

Рисунок 10.24

Подставляя (10.27) в (10.25) получаем:

. (10.28)

Преобразуем (10.27) следующим образом:

.

Разделим числитель и знаменатель дроби на , а так же умножим числитель и знаменатель на (-1). Тогда дробь примет вид:

. (10.29)

Согласно формулам Эйлера:

, (10.30)

. (10.31)

Вычитая (10.31) из (10.30), имеем . Откуда

, (10.32)

Полагая и, подставляя (10.32) в (10.29), получаем

. (10.33)

Подставим (10.33) в (10.28):

(10.34)

Согласно (10.26)

. (10.35)

Следовательно, из (10.34) и (10.35):

(10.36)

Рисунок 10.25

Таким образом амплитуда волны, дифрагирующей под углом ,

(10.37)

зависит от параметра

, (10.38)

Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату ее ампли­туды

~ , (10.39)

~ . (10.40)

Разделив (10.40) на (10.39) получим

. (10.41)

График зависимости показан на рис. 10.25.

Здесь не приведены значения , соответствующие параметру и формуле (10.40). Анализ функции показывает, что в области центрального максимума сконцентрировано 93% интенсивности света, дифрагирующего на щели, и лишь 7% распределено по остальным максимумам.

10.7. Дифракционная решётка проходящего света

[8, с. 415]

Дифракционная решетка проходящего света представляет собой набор узких параллельных щелей ширины ( ), разделенных непроз­рачными для света промежутками ( ). Щели и промежутки распо­ложены в одной плоскости (рис. 10.26)

Рисунок 10.26

Величина

(10.42)

носит название "постоянной дифракционной решётки". Иногда эту величину называют "периодом решетки".

Если свет освещает ще­лей решётки, величину

(10.43)

называют рабочей длиной решетки.

Рисунок 10.27

Направим плоскую монохроматическую волну длины орто­гонально плоскости решетки (рис. 10.27).

В данном случае волны дифрагируют на всех щелях и, отклоняясь на различные углы, создают максимумы и минимумы в дифракционном спектре. Расчет распределения интенсивности в дифракционном спектре, выполненный по той же методике, что и для одной щели в разделе 10.6, дает следующее значение

, (10.44)

где определяется формулой (10.41).

Анализ формулы (10.44) показывает, что огибающая (пунктирная линия) определяется функцией (40.41), рис. 10.28. Внутри этой огибающей располагаются главные максимумы, главные минимумы, до­бавочные максимумы и добавочные минимумы.

Причем, между двумя главными максимумами располагается добавочных минимумов и добавочных максимумов.

Из рисунка 10.28 следует, что такому спектру соответствует решетка, имеющая всего 4 рабочих щели. Предельное значение для сов­ременных решёток проходящего света до 800 на 1 мм длины.

Найдем условие главных дифракционных максимумов. Рассмот­рим две волны 1 и 2, дифрагирующие вблизи краев соседних щелей под углом , рис. 10.29.

Оптическая разность хода между ними

. (10.45)

Рисунок 10.28

Рисунок 10.29

По условию задачи, волны 1 и 2 когерентны, следовательно, интерферируя, они дадут согласно разделу 5.5 максимум, при условии, что

, 0, 1, 2, 3… (10.46)

Из (10.45) и (10.46) получаем условие главных дифракционных максимумов от решетки:

. (10.47)

Условие соответствует центру дифракционной картины.

Две любые другие волны 1′, 2′, расположенные на расстоянии , соответствуя условию (10.47), усилят яркость максимума поряд­ка под углом . Аналогичное усиление света даст попарный учет аналогичных волн от всех остальных щелей решетки.

Поскольку интерферируют волны не только от соседних щелей, но и от самых различных, наряду с главными максимумами, возникают добавочные максимумы и минимумы, определяемые функцией формулы (10.44).

Условие главных минимумов:

, (10.48)

для решетки не отличается от условия минимума для одной щели (формула (10.20)), поскольку ни одна щель, согласно (10.48) результирующей напряженности поля под углом не дает.

Для нахождения условия добавочных минимумов расчленим мыс­ленно всю рабочую поверхность решетки (включая и непрозрачные промежутки) на зоны Френеля, рис.10.30.

Из рис. 10.30 видно, что оптическая разность хода между край­ними волнами 1 и 2 составляет

. (10.49)

Согласно условиям расчленения волнового фронта на зоны Френеля число зон должно быть чётным, а величина

. (10.50)

Рисунок 10.30

Рисунок 10.31

аналогично формуле (10.17). Учитывая, что и приравнивая правые части (10.49) и (10.50) получаем условие добавочных ми­нимумов:

.

или

. (10.51)

Невыполнение условия переводит условие (10.51) в условие главных максимумов.