2. Законы отражения и преломления света как следствие принципа ферма

Оба рассмотренных выше закона могут быть получены как след­ствие из принципа ФЕРМА, сущность которого заключается в следую­щем

В однородной, изотропной среде свет идет по такому пути, для прохождения которого ему требуется мини­мальное время.

Из рисунка 13.5 видно, что минимальное время распространения света между точками ( ) и ( ) соответствует траектории ( ). Поэтому световой луч выберет из двух путей ( ) и ( ), тот, который короче, т.е. будет распространяться прямолинейно. Иногда принцип ФЕРМА называют законом прямолинейно­го распространения света.

Очевидно, что принцип ФЕРМА применим лишь для таких изотроп­ных сред, в которых размеры неоднородностей

. (13.18)

Если условие (13.18) не выполняется, возможна дифракция и рассеяние на неоднородностях среды. Кроме того, при нарушении однородности и изотропности среды показатель преломления начинает зависеть от координат и возможна рефракция, приводящая к искривлению траектории луча.

Пусть световой луч падает на границу раздела двух сред с абсолютными показателями преломления (рис. 13.6), каж­дая из которых однородна и изотропна. Из рисунка видно, что и любого другого пути, при условии, что луч падающий «1» и луч преломленный «2» лежат в одной плоскости ( ) с нормалью к границе раздела. Время распростране­ния света по пути (рис. 13.7):

(13.19)

Введя обозначения,

и учитывая, что и - прямоугольные, получим из (13.19):

. (13.20).

В данном случае можно считать, что является функцией от .

Рисунок. 13.5

Рисунок 13.6

Рисунок 13.7

Согласно принципа ФЕРМА свет пойдет по такой траектории лежащей в плоскости (рис. 13.6, 13.7), чтобы выполнялось условие:

. (13.21)

Условие (13.21) выполняется, если функция удовлетворяет требованию существования ее экстремума:

.

Дифференцируя (13.20) по x, имеем:

,

. (13.22)

Из , (13.23)

Из . (13.24)

Подставляем (13.23) и (13.24) в (13.22):

(13.25)

Поскольку а , из (13.25) следует закон преломления света:

(13.26)

Отражение света от границы раздела двух сред (луч 3, рис. 13.7) можно рассматривать как «преломление» в среду с тем же самым абсолютным показателем . Тогда, согласно (13.26) и рис. 13.7, для отраженного луча 3 получим:

. (13.27)

что соответствует полученному ранее закону отражения света.

В заключении отметим, что закон отражения и закон прелом­ления света носят название I и 2 законов СНЕЛЛИУСА по имени гол­ландского ученого, профессора Лейденского университета Снеллиуса Виллеброрда, открывшего их экспериментально в 1621 году.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 13

1. Закон отражения света.

2. Доказательство закона отражения света из волновых и лучевых представлений.

3. Закон преломления света.

4. Доказательство закона преломления света из волновых и луче­вых представлений.