Рисунок 10.3 Рисунок 10.4

Если зеркальную поверхность Π (рис. 10.5) изогнуть так, как показано на рис. 10.6, наряду с зеркально отраженным лучом 2 возни­кает множество лучей, не подчиняющихся закону отражения света. Такие лучи являются дифрагированными.

Рисунок 10.5

В данном случае под "неоднородностью" среды понимается "шаг" ломанной линии зеркальной поверхности величины .

Экспериментальные данные, приведенные на рис. 10.4 и рис. 10.6 лежат в основе конструкции дифракционных решёток проходящего и отражен­ного света.

Рисунок 10.6

На основании сказанного, дифракцию можно определить, как отклонение вектора фазовой скорости излучения от первоначального направления, вызванное взаимодействи­ем излучения с неоднородностями среды, соизмеримыми с длиной электромагнитной волны. В качестве критерия указанной "соизмеримости" обычно выбирается величина

, (10.1)

которая учитывает не только и , но и расстоя­ние от неоднородности до точки наблюдения дифрагированного излучения.

Более подробный анализ формулы(10.1) мы проведем в 10.4.

10.2. Принцип Гюйгенса-Френеля [8, с. 333-334]

В 1690 г, для объяснения дифракции, Гюйгенс предложил счи­тать КАЖДУЮ ТОЧКУ среды (и вакуума, в том числе), до которой до­шел волновой фронт электромагнитной волны, источником вторичных сферических волн той же частоты, что исходная волна. Такова суть принципа Гюйгенса, который, не объясняя физической природы дифрак­ции, позволяет сделать некоторые чисто геометрические следствия.

1) Если, например, волновой фронт в момент времени имеет форму плоскости (рис. 10.7) или сферы (рис. 10.8), то изображая бесчисленное множество элементарных сферических излучателей на этом фронте, можно построить второй волновой фронт в момент времени как ОГИБАЮЩУЮ по всем элементарным сферам.

Рисунок 10.7 Рисунок 10.8

Рисунок 10.9

2) Можно формально объяснить, например, дифракцию на КРАЮ ПОЛУПЛОСКОСТИ, "разместив" по соседству с ней элементарный сфери­ческий излучатель с радиально расходящимися лучами, рис. 10.9.

В 1815 г. Френель дополнил принцип Гюйгенса интерференцион­ным подходом к дифракционным явлениям. Пусть участок волновой по­верхности площади (рис. 10.10), излучает дифрагированный свет под различными углами.

Рисунок 10.10

Элементарный излучатель площади посылает свет не только в направлении нормали (недифрагированный луч), но и под любым, произвольным углом к ней (дифрагированный луч ВА), В точке А дифрагированная волна создает элементарную напряженность поля:

,

где - коэффициент, зависящий от угла ,

- амп­литуда волны, зависящая от расстояния,

- начальная фаза коле­баний участка - элементарного излучателя.

В точку (А) схо­дятся волны дифрагированные от бесчисленного множества элементар­ных излучателей распределенных по всей поверхности . Дифраги­рованные волны ( ), сошедшиеся в точке (А), являются когерент­ными и интерферируют.

Следствием интерференции является результирующая напряжен­ность электрического поля в точке А:

. (10.2)

Формула (10.2) отражает суть принципа Гюйгенса-Френеля:

Каждая точка среды, до которой дошел волновой фронт, является источником вторичных, сферических волн. Результирующая напряженность электрического поля ( ) на некотором расстоянии от волнового фронта является результатом интерференции дифрагированных вторичных волн. Для нахождения величины надо найти векторную сумму напряженностей от всех элементарных излучателей, с учетом их амплитуд и фаз.

В общем случае, расчет интеграла (10.2) представляет довольно громоздкое решение, поэтому для нахождения величины пользуются методом зон Френеля.

10.3. Метод зон френеля [8, с. 384-386, 407]

Пусть точечный источник ( ) (рис. 10.11) излучает сферичес­кую волну длинoq и находится на расстоянии ( ) от точки ( ), в которой исследуется интерференция дифрагированного све­та. Свет дифрагирует на отверстие радиуса ( ) в непрозрачном экране ( ).

Расчленим МЫСЛЕННО открытую часть волнового фонта на УСЛОВНЫЕ кольцевые зоны (зоны Френеля), отвечающие следующим требованиям:

1. Число зон ЦЕЛОЕ (либо четное, либо нечётное).

2. Число зон достаточно велико.

3. Разница оптических длин путей, проходимых лучами от краев двух соседних зон равна ( ), как показано на рис. 10.11.

Рисунок 10.11

Рисунок 10.12

Рисунок 10.13

Докажем, что площади всех зон при выполнении условий 10.1 – 10.3, равны между собой. Рисунку 10.11 соответствует рисунок 10.12, где - радиус зоны " ", равный радиусу сферического сегмента.

Виду "А" рис. 10.12, 10.11 соответствует расположение кольцевых зон, показанное на рис. 10.13.

Согласно рис. 10.13, площадь зоны Френеля это площадь кольце­вого участка сферической поверхности, равная разности площадей сферических сегментов радиуса и

. (10.3)

Найдем высоту сегмента . Из (рис. 10.12):

. (10.4)

Из Δ , рис. 10.12.:

. (10.5)

Приравнивая правые части (10.4) и (10.5), находим

. (10.6)

Согласно (10.6):

. (10.7)

Поскольку , формула (10.7) упрощается:

. (10.8)

Подставляя (10.8) в формулу площади сферического сегмента, имеем:

. (10.9)

Аналогично

. (10.10)

Согласно (10.9) и (10.10) площадь кольцевой зоны Френеля

(10.11)

и не зависит от зоны .

Поскольку площади всех зон одинаковы, равны интенсивности волн излучаемые ими. Заметим, что площади зон Френеля одинаковы не только в случае сферических волн, но и любых других: плоских, цилиндрических, параболических и т.д.

Найдем радиус зоны Френеля номера . Согласно (10.4)

.

В большинстве реальных случаев

,

поэтому

. (10.12)

Подставляем (10.8) в (10.12):

(10.13)

и зависит от номера зоны .

Найдем результирующую напряженность электрического поля в точке (рис. 10.11), обусловленную интерференцией волн, дифрагированных в направлении точки от всех кольцевых зон. Векторы от двух соседних зон приходят с оптической раз­ностью хода . Такой разности хода соответствует разность фаз волн, равная (радиан). Поэтому ориентацию век­торов зон Френеля в точке можно представить в виде рис. 10.14.

Рисунок 10.14

Амплитуда векторов убывает с увеличением номера зоны , т.к. непосредственно в направлении точки "светит" лишь 1-я зона. Все же остальные зоны посылают в сторону точки Ρ лишь компоненту своей интенсивности (рис. 10.15), .

В соответствии с рисунком 10.14,

.

Представим все нечетные амплитуды в виде суммы их половин и произ­ведем группировку слагаемых:

. (10.14)

Величина любой круглой скобки в (10.14) равна нулю, поскольку, напри­мер,

,

а по определению среднего равно (+ ) и

.

Пусть число зон нечетное, а их общее число равно, например, "5".

Рисунок 10.15

Согласно (10.14),

.

В общем случае:

, (10.15)

где - напряженность от последней нечетной открытой зоны Френеля. Если число зон четное, например, "6",

.

Поскольку

, .

Амплитуды у двух соседних зон отличаются незначитель­но, поэтому

и

.

В общем случае,

, (10.16)

где - амплитуда напряженности электрического поля от последней открытой четной зоны Френеля.

Проведенное рассмотрение позволяет сделать следующие ос­новные выводы:

1. Зоны Френеля - условные геометрические образы, которые мы вводим для удобства расчёта интерференционной картины создава­емой дифрагированным светом.

2. Число зон - целое, либо четное, либо нечетное.

3. Площади зон одинаковы, поэтому одинаковы излучаемые ими интенсивности.

4. Радиусы зон возрастают с увеличением номера зоны.

5. Если число зон нечетное в точке наблюдения интерференции имеет место МАКСИМУМ интенсивности.

6. Если число зон четное в точке наблюдения - минимум интен­сивности.