5.1 Задачи цп: порожденные задачи, ослабленные задачи (задачи с ослаб­ленными ограничениями), общая схема решения.

Порождённые задачи

Подобно тому, как каждая ослабленная задача имеет свой исток, каждой порождённой задаче соответствует породившая её. Совокупность таких непосредственно порождённых задач должна обладать таким свойством, что оптимальное решение, по крайней мере, одной из задач этой совокупности такое же, как и у породившей её задачи. Если породившая задача имеет множество оптимальных решений, эти решения должны составлять множество оптимальных решений порождённых задач.

Ослабленные задачи (задачи с ослабленными ограничениями)

Отличаются от порожденных тем, что их ограничения являются менее жёсткими, т.е. определяют более широкую или, по крайней мере, не меньшую область допустимых решений. Часто формулировка рассматриваемой задачи предусматривает только некоторые из ограничений задачи истока. В частности, ослабленные задачи в рассматриваемых нами методах представляют собой обычные задачи ЛП.

Ц.ф. ослабленной задачи так же может отличаться от ц.ф. задачи-истока при условии, что оптимальное решение первой не превосходит оптимального решения второй (для задачи минимизации).

Перечисленные условия приводят к следующему неравенству:

(*)

отсюда следует, что если мы найдём решение, для которого левая и правая части этого ограничения совпадут, то это и будет оптимальное решение задачи.

В теории двойственности как ЛП так и НЛП используется такая особенность задач, которая присуща ослабленной задаче, и в теории математического программирования двойственная задача часто используется для определения наиболее жёсткой из ослабленных задач, т.е. такой, для которой в двустороннем неравенстве (*) получается наибольшее значение левой части неравенства.

В связи с этим, все методы, которые охватываются рассматриваемой нами схемой принято определять как двойственные методы.

Особенностью их является то, что они дают средство для решения задачи-истока даже в тех случаях, когда имеет место навязка двойственности.

В связи с этим решение задачи-истока выполняется следующим образом:

1. осуществляется последовательная генерация порождённых задач.

2. рассматриваются три особенности порождённых задач:

1. во всех случаях, когда ослабленная задача не имеет допустимого решения, его не имеет и задача-исток;

2. оптимальное значение ц.ф. ослабленной задачи определяет нижнюю границу оптимального значения ц.ф. задачи-истока.

3. если оптимальное решение ослабленной задачи соответствует равным значениям ц.ф. задачи-истока и ослабленной задачи и если это решение для задачи-истока является допустимым, то оно является так же и её оптимальным решением.

Общая схема реализации

1. Начать со списка задач, который содержит в качестве единственного элемента исходную задачу.

2. Выбрать из списка задачу. Если на данной стадии в списке нет задач, реализация метода на этом заканчивается, и наилучшие из найденных решений и есть оптимальные решения исходной задачи. Если такие возможные решения не найдены, то исходная задача не имеет допустимого решения.

3. Решить ослабленную задачу (или их совокупность), соответствующую выбранной задаче. При этом:

1. Если ослабленная задача не имеет допустимого решения – исключить выбранную задачу из списка и вернуться к шагу 2).

2. Если оптимальное значение ц.ф. ослабленной задачи равно или больше значения ц.ф. лучшего из уже найденных решений исходной задачи, исключить выбранную задачу из списка и вернуться к шагу 2).

3. Если ни одна из рассмотренных ситуаций не имеет места и оптимальное решение ослабленной задачи является оптимальным для выбранной задачи, необходимо проверить, будет ли это решение допустимым для исходной задачи. Если допустимость этого решения для исходной задачи установлена, внести его в список в качестве нового возможного решения исходной задачи и вернуться к шагу 2).

4. Если ни одна из перечисленных ситуаций не имеет места, рассмотреть выбранную задачу в качестве порождающёй и сформулировать одну или несколько порождённых задач. Внести эти задачи в список и вернуться к шагу 2).

Комментарии:

1. На шаге 3) для получения ослабленных задач с последовательным усилением ограничений можно использовать несколько методов:

- отмена целочисленности