3.Задача о гармоничном составе экспедиции

1. Задача о гармоничном составе экспедиции

Группа исследователей намеревается отправиться в экспедицию, причём желательно, чтобы количество участников было максимально. Однако, некоторые из них не ладят друг с другом, и если одно из лиц, входящих в конфликтную пару, отправится в экспедицию, то другому придётся остаться дома.

Такую задачу чаще всего формулируют как задачу “0-1”, если переменные определяется следующим образом: =1, если j-е лицо отправляется в экспедицию, =1, если j-е лицо не отправляется в экспедицию.

Тогда задача формулируется так:

Максимизировать ц.ф.

При ограничении

Где h, k – пары конфликтующих лиц.

, - целое.

Существует обобщённая задача, в которой каждому лицу j вводится в соответствие оценка полезности , и тогда ц.ф. (которая, кстати, максимизируется) выглядит так: .

Существует ещё одно обобщение этой задачи. Считается, что несовместная группа состоит из множества лиц, тогда если S – множество несовместных лиц, а |S| - число элементов этого множества, то обобщение задачи достигается добавлением ограничения следующего вида:

, что означает, что по крайней мере одно из лиц, входящее в конфликтную группу, должно остаться дома.

2. Задача об эффективной экспедиции

В этой задаче стараются минимизировать количество участников экспедиции. Однако экспедиции предстоит выполнить несколько обязательных работ, поэтому для её успеха необходимо, чтобы для каждой из таких работ в составе экспедиции было хотя бы одно лицо, которое может эту работу выполнить.

Определим так же как в предыдущей задаче, а через обозначим множество лиц, способных выполнить i -ю работу, тогда задача формулируется так:

Минимизировать ц.ф. При ограничении , - целое.

2. Задача о доставке

Цель состоит в выборе такого количества маршрутов, при котором обслуживается каждый клиент, и суммарная длина маршрута, а следовательно и стоимость перевозки, была минимальна. При этом на каждом маршруте работает только одно транспортное средство.

Пусть = 1, если j-й маршрут выбран, = 0, если нет.

Сформируем матрицу , каждый j –й столбец которой имеет элементы , если клиент обслуживается на маршруте и , если не обслуживается.

Тогда если обозначить через стоимость доставки по маршруту j, вся задача формулируется следующим образом:

Минимизировать ц.ф. вида:

При ограничениях

И при условии и целое.

При этом - единичный вектор.

Пусть количество единиц транспорта не больше k, тогда к задаче добавляется ограничение

.

Стандартная формулировка задачи предполагает:

1. что в матрице нет полностью нулевых столбцов (т.е. маршрут обслуживает хотя бы одного клиента).

2. Равенство означает, что каждый клиент обслуживается раз в день.

4. Задачи с многократными альтернативами

Пусть в задаче существуют следующие ограничения:

…

Предположим, что из существующих групп ограничений по крайней мере q должны выполняться, а остальные (r-q) могут соблюдаться или нет.

Поставим в соответствие каждому вектору некоторый вектор такой же размерности (размерность векторов для различных k может быть разной).

Компоненты вектора должны иметь достаточно большую величину, чтобы для всех векторов в рассматриваемой задаче всегда выполнялось следующее соотношение:

Тогда ограничение , (***)

где - булева переменная,

будет иметь вид: , если . (*)

и , если . (**)

Для того, чтобы выполнялись хотя бы q неравенств вида (*), по крайней мере q переменных должны иметь нулевое значение. Этого добиваются, вводя ограничение вида (***) для , а так же условия: ,

причём в последнем выражении знак  можно заменить на =, что сути задачи не изменит.

2. Задача с булевыми переменными и полиномиальными функциями

Найти минимум целевой функции вида: при ограничениях вида:

; 0 или 1 для всех i.

Здесь и – полиномы.

Полиномы и можно заменить эквивалентной задачей ЛП с булевыми переменными следующим образом:

а) Все ненулевые переменной заменить на первую степень.

б) Каждое произведение вида заменить булевой переменной , которая должна удовлетворять условиям: и . Здесь |Q| -- число элементов в множестве Q.

Вычислив эту переменную мы и получим задачу ЛП.

Задачи ЦП с ограниченными переменными. Задачи ЦП с булевыми переменными

Допустим, что на каждую целочисленную переменную исходной задачи наложено ограничение , при этом Uj – конечное число. Тогда можно заменить линейным выражением вида:

, где каждая переменная является булевой переменной, а r – равно единственному числу, для которого .

Широко используются ещё два способа замены целочисленной переменной взвешенной суммой булевых переменных. При этом все веса либо принимаются равными 1, что приводит к обычной сумме различных переменных, число которых равно Uj , либо считаются положительными числами вида 1, 2, 3, … , Uj и вводится дополнительное ограничении, в соответствии с которым сумма булевых перменных, ассоциированных с этими весами на должна превышать 1.