1 Определение и математическая формулировка.

Задачи целочисленного программирования тесно связаны с задачами комбинаторики.

Комбинаторика определяет область комбинаторной оптимизации, задачи которой состоят в отыскании среди структурированного конечного множества альтернатив наилучшего относительно заданного критерия подмножества объектов (решений, видов деятельности и т.д.). Такие задачи обычно формулируются как задачи максимизации или минимизации некоторого функционала. Структурные особенности заданного конечного множества служат основой для построения некоторого системоупорядоченного метода решения задачи, который используется вместо простого перебора и сравнения всех альтернативных вариантов.

Целочисленное программирование определяется, как область математической оптимизации, связанную с задачами, в которой все или некоторые переменные должны иметь целочисленное значение. При этом считается, что нелинейность, вытекаемая из требования целочисленности, выражена достаточно слабо, для того чтобы проявиться в неожиданных изменениях нелинейной зависимости, что позволяет выделить в большинстве нелинейных моделей целочисленного программирования линейные и целочисленные компоненты, и соответственно использовать математический аппарат линейного программирования.

Например.

«Задача о садовнике»

Садовнику для работы необходимо купить 107 кг удобрений.

В продаже есть мешки: 35кг – 14 у.е.

24кг – 12 у.е.

Цель: купить не менее 107кг удобрений, затратив минимальную сумму денег.

Обозначим количество покупаемых мешков весом 35кг - , 24кг - .

Тогда задача представится в виде:

Если «сообразить» и откинуть условие целочисленности, то надо купить 2,35 мешка по 35 кг. Но учитывая это условие: =1, =3.

Математический аппарат ЦП решает много практических задач, в том числе и таких, где оптимизация целочисленной ц.ф. выражена неявно. Это:

- составление последовательности производственных процессов

- календарное планирование работы предприятия

- планирование материально-технического снабжения

- планирование использования ресурсов

- планирование сметы капиталовложений

- и т.д.

Часто этот математический аппарат используется при инженерных разработках и научных исследованиях.

В частности: проектирование ЭВМ, рассмотрение вопросов надёжности систем, кодирования сигналов и передачи по линии связи и т.д.

В области экономики этот математический аппарат используется при планировании так называемых неделимых величин при организации производства, т.е. расходы на приобретение оборудования, издержки на наладочные работы и вся совокупность расходов, связанных с расширением производства.

Задача ЛП, в которой на все компоненты вектора наложено дополнительное условие целочисленности называется полностью целочисленной, если же это условие относится лишь к некоторым компонентам вектора , то задача называется частично целочисленной, при этом переменные, не связанные условием целочисленности, называются непрерывными.