§8. Кручение кривой.
Пусть
– произвольная точка кривой
и
– близкая к ней точка. Обозначим через
– угол между соприкасающимися плоскостями
кривой в этих точках, а через
– длину дуги
кривой.
Определение.
Абсолютным кручением
кривой
в точке
называется
предел отношения
,
когда
.
Абсолютное кручение часто называют второй кривизной кривой. Кручение – неотрицательное число, если вычисляется в заданной точке, и неотрицательная функция, если в произвольной.
Теорема. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет определённое абсолютное кручение .
Если – естественная параметризация кривой, то
.
Если же – произвольная параметризация, то
.
Доказательство.
Пусть
– естественная параметризация кривой;
– произвольная точка кривой, соответствующая
значению параметра s,
где кривизна отлична от нуля. Тогда по
непрерывности она отлична от нуля и в
некоторой окрестности этой точки. В
каждой точке этой окрестности векторы
и
отличны от нуля и не параллельны. Поэтому
в каждой точке
,
соответствующей значению параметра
,
из этой окрестности существует
единственная соприкасающаяся плоскость.
Пусть
и
– единичные векторы бинормалей кривой
в точках P
и Q.
Тогда угол
равен углу между этими векторами и
(аналогично доказательству теоремы о
кривизне, см. §
7). Поэтому
.
Отсюда,
переходя к пределу при
(точка
),
получим
.
Вектор
перпендикулярен
,
(т.к.
).
Кроме того, так как
,
то
(векторы
и
коллинеарные). Следовательно, вектор
перпендикулярен
.
Таким образом,
параллелен
и, следовательно, вектору
.
Поэтому
.
Так
как
,
и
,
то
.
Получим теперь формулу для вычисления абсолютной кручения в случае произвольной параметризации кривой. Имеем:
,
,
,
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Определим
теперь кручение
кривой.
Из параллельности векторов
и
следует, что при движении вдоль кривой
в сторону возрастания
соприкасающаяся плоскость поворачивается
около касательной.
В
связи с этим определим кручение
=
и будем брать знак “плюс”, если вращение
соприкасающейся плоскости происходит
в направлении от вектора
к вектору
,
и знак “минус“, если в противоположном
направлении. Если так определить знак,
то кручение
.
Выясним геометрический смысл кручения. Для этого найдём все кривые, для которых º0.
Имеем:
,
.
Значит, вектор
ортогонален трем взаимно перпендикулярным
векторам. Следовательно,
и
.
Так
как
,
то, интегрируя это равенство, получим,
,
т.е. кривая лежит в соприкасающейся
плоскости.
Таким образом, кривые, для которых кручение тождественно равно нулю – плоские. Верно и обратное.
§9. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой.
С
пространственной кривой связано
множество геометрических объектов,
изучение которых представляет большой
интерес. Исследование этих объектов
чрезвычайно облегчается, если отнести
их к системе координат, которую мы
назовем натуральной: в ней за
координатные оси принимаются ребра
трехгранника Френе. Но тогда недостаточно
знать, как меняются координаты изучаемого
объекта; необходимо еще учесть, что
меняется система координат, то есть ее
основные орты
.
В эти исследования входят производные
данных векторов. Поэтому важно знать
выражения производных от векторов
,
через сами эти вектора. Такие формулы
были получены французским математиком
Френе (позднее независимо другим
французским математиком Серре). Они
получили название формул Френе или
Серре – Френе.
Теорема.
Пусть
– регулярная (трижды непрерывно
дифференцируемая) кривая,
– натуральный параметр,
,
,
– векторы основного триэдра,
и
– кривизна и кручение кривой
.
Тогда справедливы соотношения
.
Эти соотношения называются формулами Френе.
Доказательство.
Пусть кривая
задана уравнением
и
.
В §7 доказано, что во всех точках кривой,
где кривизна отлична от нуля, единичный
вектор главной нормали
.
Отсюда, так как
,
то
.
В
§8 доказано, что векторы
и
коллинеарные, и
(см. доказательство теоремы о кручении).
Таким образом, с точностью до направления,
.
Для
доказательства второй формулы заметим,
что
и
.
Воспользовавшись первой и третьей
формулами Френе, получим
.
Теорема доказана.
Замечание. Формулы Френе дают выражения первых производных векторов репера Френе. Но с их помощью можно найти выражения высших производных указанных векторов.
Существенно в этих формулах то, что полученные соотношения полностью определяются значениями кривизны и кручения кривой.
Отметим, что формулы Френе являются основным аналитическим аппаратом раздела теория кривых дифференциальной геометрии; их нужно твердо запомнить.
В качестве первого примера применения формул Френе рассмотрим вопрос о приближенном представлении кривой в окрестности ее произвольной точки .
Возьмем в качестве координатных осей декартовой системы координат с началом в точке ребра трехгранника Френе: ось X – касательная, ось Y – главная нормаль, ось Z – бинормаль.
Пусть кривая задаётся уравнением .
Разложим радиус-вектор по формуле Тейлора в окрестности начала координат. Имеем
,
так как
.
Но
по формулам Френе
,
,
.
Тогда
=
.
Теперь,
сохраняя только главные члены этого
разложения, получим
для достаточно малых s.
Пусть кривизна и кручение кривой не равны нулю. Спроектируем кривую на координатные плоскости, т. е. на плоскости трехгранника Френе.
1
.
На соприкасающуюся плоскость,
т. е. на плоскость
.
Имеем
,
т. е. проекция близка к параболе
.
2.
На нормальную
плоскость
(плоскость
).
Так
как
и
,
то проекция близка к полукубической
параболе
.
3
.
На спрямляющую плоскость (плоскость
XOZ).
Имеем
.
Проекция близка к кубической параболе
.
Как
видно из рассмотренной задачи, коэффициенты
в разложении функции
выражаются через функции
и
.
Это даёт основание предполагать, что
они определяют в какой-то мере кривую.
И действительно имеет место теорема,
которую часто называют основной
теоремой теории кривых.
Теорема.
Пусть
и
– две любые регулярные функции, причём
.
Тогда существует и притом единственная,
с точностью до положения в пространстве,
кривая, для которой
является кривизной, а
– кручением в точке, соответствующей
дуге
.
Доказательство.
Если кривая, существование которой
утверждается теоремой, действительно
существует, то единичные векторы
касательной
,
главной нормали
и
бинормали
должны удовлетворять
формулам Френе. Таким образом, для
неизвестных функций
,
,
,
используя заданные функции
и
,
построим следующую систему дифференциальных
уравнений
(1)
,
(в силу формул Френе).
Естественно поэтому при отыскании интересующей нас кривой обратиться к решениям этой системы.
В
качестве начальных условий для системы
(1) выберем три единичные попарно
ортогональные векторы
,
образующие правую тройку:
,
,
.
Тогда решение системы (1) должно
удовлетворять начальным условиям:
. (2)
При сформулированных условиях согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений существует единственное решение , , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).
Докажем, что для любого s векторы , и единичные, попарно ортогональные и образуют правую тройку.
Для этого
составим систему 6 линейных дифференциальных
уравнений относительно 6 неизвестных
скалярных функций
следующим образом.
Условно будем
считать, что
,
,
,
,
,
.
Тогда
.
Используя первое уравнение системы
(1), получим
или
.
Это и есть первое из уравнений нашей
системы. Аналогично строятся и оставшиеся
пять уравнений.
Полученная система, в силу построения, является следствием системы (1). Поэтому решением этой системы является набор функций , , , , , , где , , – решения системы (1).
Непосредственной
проверкой, нетрудно убедится, что
решением нашей системы также является
следующий набор функций
,
.
В
силу начальных условий (2), построенные
решения совпадают при
.
Следовательно, по теореме Коши, они
совпадают при всех значениях s.
Это
означает, что векторы
,
,
единичные и попарно ортогональные.
Поэтому их смешанное произведение при
всех значениях s
равно либо +1, либо
.
Поскольку это произведение непрерывно зависит от s и равно +1 при , то оно равно +1 при любом s. Таким образом, векторы , , единичные, попарно ортогональные и образуют правую тройку.
Рассмотрим теперь кривую , заданную уравнением
.
Во-первых, заметим, что параметризация кривой естественная. В самом деле,
и,
так как
– решение системы (1) с начальными
условиями (2), то
.
Найдем кривизну и кручение этой кривой. Используя первое уравнение системы (1), по формуле для вычисления кривизны получим
.
Вычислим кручение, также используя уравнения системы (1),
.
Итак, кривизна и кручение кривой совпадают с заданными функциями и . Существование кривой доказано. Докажем единственность.
Пусть
и
– две кривые, удовлетворяющие условиям
теоремы. Совместим кривые
и
точками, соответствующими дуге
и естественными трёхгранниками в этих
точках. Пусть
и
– единичные векторы касательных, главных
нормалей, бинормалей кривых
и
соответственно.
Тройки
вектор-функций
и
являются решениями системы (1). Начальные
значения этих решений совпадают. Отсюда
следует, что решения совпадают
тождественно. В частности,
или
.
Интегрируя это равенство, получим:
,
где
–
постоянный вектор.
Таким образом, кривая отличается от кривой только положением в пространстве.
Теорема доказана полностью.
Система равенств
,
называется натуральными уравнениями кривой.
Согласно доказанной теореме кривая определяется натуральными уравнениями однозначно с точностью до положения в пространстве.