§7. Кривизна кривой.

П усть – регулярная кривая, – произвольная точка на ней и – точка кривой, близкая к . Обозначим через – меньший угол между касательными кривой в точках и , а – длину дуги отрезка кривой.

Определение. Кривизной кривой в точке называется предел отношения , когда .

Кривизну кривой также называют первой кривизной кривой.

Кривизна кривой, вычисляемая в заданной точке – неотрицательное число, в произвольной – неотрицательная функция.

Теорема. Регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) кривая имеет в каждой точке определённую кривизну . Если

естественная параметризация кривой, то

= .

Для произвольной параметризации ,

.

Доказательство. Пусть точкам и соответствуют значения параметра и .

Тогда – это угол между единичными векторами касательных и .

Так как , то из равнобедренного треугольника с вершиной в точке и боковыми сторонами и , получим

.

Поэтому

.

Замечая, что , при , и переходя к пределу при , получим

.

Следовательно, = .

Получим теперь формулу для вычисления кривизны , в случае произвольной параметризации кривой . Для этого вспомним (см. § 5), что

.

Тогда

и

.

Возводя это равенство в квадрат, и замечая, что , так как (см. § 3), получим

.

Отсюда

.

Теорема доказана.

Теперь нетрудно получить формулу для вычисления кривизны кривой в случае ее параметрического задания уравнениями

.

Имеем

.

Если кривая плоская и расположена в плоскости XOY ,

.

Если плоская кривая задана уравнением ,

.

Замечание. Кривизна кривой по определению неотрицательна. Однако для плоских кривых во многих случаях целесообразно кривизне приписывать знак, считая ее в одних случаях положительной, в других – отрицательной. При этом пользуются следующим соображением. Касательный вектор кривой при движении вдоль кривой в направлении возрастания поворачивается. В зависимости от направления вращения кривизну считают положительной (вращение по часовой стрелке) или отрицательной (вращение против часовой стрелки).

Пусть кривая задана уравнением . Рассмотрим в каждой точке этой кривой, где , вектор .

Этот единичный вектор лежит в соприкасающейся плоскости кривой и ортогонален направляющему вектору касательной . Следовательно, – единичный направляющий вектор главной нормали кривой.

В заключение дадим геометрическую интерпретацию кривизны. А именно, найдём все кривые, имеющие в каждой точке кривизну, равную нулю. Имеем

.

Отсюда и, следовательно, , где и – постоянные векторы.

Таким образом, кривая, имеющая всюду кривизну равную нулю, является либо прямой, либо открытым отрезком прямой. Верно также обратное.

Установим выражение кривизны плоской кривой через производную угла между касательной и каким-либо фиксированным направлением в плоскости. Примем это направление за положительное направление оси OX. Пусть задана естественная параметризация кривой

.

Вектор является единичным касательным вектором . Следовательно, .

Найдем производные:

.

Используя формулу для нахождения кривизны плоской кривой, получим

,

то есть или .