§2. Регулярная кривая. Способы аналитического задания кривой.

Пусть – элементарная кривая и – отрезок, образом которого при отображении является кривая . Тогда точке на отрезке соответствует некоторая точка пространства . Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат и пусть – координаты точки в пространстве. Естественно, что изменению значений соответствует изменение точки , а, следовательно, и изменение её координат . Таким образом, координаты точки кривой являются функциями аргумента . Обозначим их .

Определение. Систему равенств

называют уравнениями кривой в параметрической форме.

Переменная называется параметром, функции – координатными функциями кривой .

Существуют различные параметризации одной и той же элементарной кривой. Действительно, если интервал (a, b) взаимно однозначно и непрерывно отображается на другой интервал (c, d), каждой точке которого ставится в соответствие некоторое число , то можно считать, что является монотонной функцией от : . В этом случае на кривой можно определить новый параметр , определенный на (c, d):

.

Элементарная кривая может иметь довольно сложное строение. Например, проекция элементарной кривой на плоскость может оказаться кривой Пеано и, следовательно, может покрыть квадрат.

Кривая называется плоской, если все её точки принадлежат некоторой плоскости. Обычно считают, что этой плоскостью является координатная плоскость . Тогда её параметрические уравнения имеют вид

.

Примером простой плоской кривой может служить график непрерывной на сегменте функции . Такое задание кривой называется явным заданием плоской кривой. График этой функции есть множество точек плоскости с координатами (параметрические уравнения той же кривой). Отметим, что не все кривые допускают явное задание.

Замечания. 1. В -мерном евклидовом пространстве кривая может быть определена системой уравнений

где – непрерывные функции на некотором связном множестве .

2. До сих пор мы рассматривали кривую, как множество точек или фигуру на плоскости или в пространстве. При параметризации кривой параметр играет роль координаты в этом множестве. Возможен и другой взгляд на кривую – как на траекторию движущейся материальной точки. Здесь параметр играет роль времени, прошедшего с начала движения. Этот подход позволяет использовать в геометрии такие понятия из механики как скорость, ускорение, путь и т. д.

Определение. Кривую будем называть регулярной ( раз непрерывно дифференцируемой), если у каждой точки этой кривой есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, то есть задание уравнениями в параметрической форме , где – регулярные ( раз непрерывно дифференцируемые) функции, и в этой окрестности .

Отметим, что в определении слова "допускает параметризацию" означают, что существует, по крайней мере, одна такая параметризация. Например, кривая задана уравнениями: . Тогда и . Но это не означает, что кривая не регулярная. Действительно, введем новый параметр . Кривая тогда задается уравнениями и для любого . Таким образом, кривая регулярная.

Заметим, что если существует какая-нибудь регулярная параметризация кривой, то их существует бесконечно много.

Позднее мы обоснуем, что условие в определении регулярной кривой существенно для того, чтобы оно соответствовало наглядному представлению о регулярной кривой.

При кривая называется гладкой.

Кривая называется аналитической, если в окрестности каждой своей точки допускает аналитическую параметризацию (функции – аналитические).

В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно регулярные кривые.

Естественно, возникает вопрос: когда произвольная система равенств определяет регулярную кривую, то есть когда эти равенства можно рассматривать как уравнения некоторой кривой?

Ответ на этот вопрос во многих случаях даёт следующая

Теорема. Если – регулярные функции, удовлетворяющие условию

,

то система равенств

является уравнениями некоторой кривой . Эта кривая есть образ отрезка при локально топологическом отображении, которое точке отрезка сопоставляет точку пространства с координатами .

Точку на кривой будем называть особой, если в этой точке.

Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметризацию или . Эта параметризация во многих случаях оказывается особенно удобной. Ее будем называть явным заданием пространственной кривой.

Теорема. Пусть – регулярная кривая, – её регулярная параметризация в окрестности точки , соответствующей значению параметра . Пусть в этой точке . Тогда в достаточно малой окрестности кривая может быть задана уравнениями , где и – регулярные функции аргумента .

Рассмотрим теперь неявное задание кривой.

Будем говорить, что плоская кривая задана уравнением

,

если координаты точек кривой удовлетворяют данному уравнению. При этом могут существовать точки плоскости, удовлетворяющие этому уравнению и не принадлежащие кривой, а множество всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению , может не быть кривой, в смысле данных определений. Такое задание кривой будем называть неявным заданием плоской кривой. В связи с заданием кривых в неявном виде важную роль играет следующая теорема.

Теорема. Пусть – регулярная функция переменных . Пусть – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

;

– точка этого множества, в которой . Тогда у точки есть окрестность, что все принадлежащие ей точки множества образуют регулярную кривую.

Пусть в пространстве заданы две поверхности и с уравнениями и соответственно.

Тогда систему

можно рассматривать, как уравнения линии пересечения этих поверхностей. Это задание кривой будем называть неявным заданием пространственной кривой.

Теорема. Пусть и – регулярные функции переменных . Пусть – множество точек пространства, удовлетворяющих уравнениям

; – точка этого множества, в которой ранг матрицы

равен двум. Тогда у точки есть такая окрестность, что все принадлежащие ей точки множества образуют регулярную элементарную кривую.