§11. Соприкосновение кривых.

Пусть и – элементарные кривые, имеющие общую точку . Возьмём на кривой точку , близкую к точке , и обозначим через её расстояние от кривой , а через – длину отрезка OP.

Определение. Будем говорить, что кривая имеет с кривой в точке соприкосновение порядка , если отношение

, когда .

Если и – общие кривые, имеющие общую точку , то говорят, что кривая имеет с кривой в точке соприкосновение порядка , если элементарная окрестность точки кривой имеет соприкосновение порядка с элементарной окрестностью кривой .

Теорема. Пусть и – регулярные плоские кривые, – уравнение кривой , а – уравнения кривой . Пусть в точке .

Тогда для того, чтобы кривая с кривой в точке имела соприкосновение порядка , необходимо и достаточно, чтобы при , соответствующем точке , выполнялись условия:

Доказательство. Пусть – точка кривой . По определению ее расстояние от кривой есть точная нижняя грань расстояний точек кривой от точки . Если точка достаточно близка к точке , эта точная нижняя грань достигается для некоторой точки кривой .

Покажем, что отрезок направлен по нормали кривой в точке .

Действительно, пусть – радиус-вектор точки кривой , а – радиус-вектор точки . Тогда квадрат расстояния точки M от точек кривой равен .

Для значения t, соответствующего минимуму этого расстояния, имеем

.

Откуда , а это значит, что вектор , ортогональный , направлен по нормали кривой в точке .

Пусть и – направляющие косинусы прямой . Тогда координаты точки через координаты точки могут быть выражены следующим образом:

, ,

где – длина отрезка .

Так как точка принадлежит кривой , то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т. е. . Таким образом,

.

Разложим левую часть этого равенства в ряд Тейлора. Имеем

, (1)

где R – ограничено в окрестности точки .

Докажем, что при , выражение стремится к пределу, отличному от нуля.

Действительно, рассмотрим два вектора с координатами и . Если , , данные векторы стремятся к ненулевым коллинеарным векторам, направленным по нормали кривой в точке . Следовательно, стремится к ненулевому скалярному произведению указанных векторов.

Из равенства (1) получим

.

Таким образом, величина h при имеет порядок малости .

Пусть точка на кривой соответствует значению параметра . Тогда её расстояние d от точки , равно

,

где – векторное уравнение кривой . Используя разложение функции в ряд Тейлора, получим

.

Следовательно, величина d при имеет порядок малости .

Отсюда следует, что для того, чтобы кривая имела с кривой в точке соприкосновение порядка n , необходимо и достаточно, чтобы

при .

Но это значит, что все члены разложения функции в ряд Тейлора по степеням до слагаемого степени включительно равны нулю.

Теорема доказана.

Замечание. Если говорить более строго, мы дали определение и доказали теорему о соприкосновении кривых порядка не ниже .

Если в определение добавить, что отношение не стремится к нулю или не имеет предела при , то порядок соприкосновения кривых и в точке О равен в точности n. При этом в теорему необходимо добавить условие

.

Кроме того, справедлива следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема. Пусть и – векторные уравнения двух регулярных кривых в окрестности точки . Если

, ,

то кривые имеют в точке соприкосновение порядка не ниже . Если, кроме того, , то порядок соприкосновения кривых в точности равен .