§10. Огибающая семейства плоских кривых, зависящих от параметра.

Пусть – семейство гладких кривых на плоскости, зависящих от параметра .

О пределение. Гладкая кривая называется огибающей семейства , если она в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства и каждым своим отрезком касается бесконечного множества кривых семейства.

Например, гладкая кривая, не имеющая прямолинейных участков, является огибающей своих касательных.

Найдем уравнение огибающей семейства плоских кривых, заданных уравнением , где – непрерывно дифференцируемая функция по всем аргументам, удовлетворяющая условию . Пусть P – точка огибающей – имеет координаты (x, y). Будем считать, что через каждую точку огибающей проходит только одна кривая из семейства , то есть каждой точке P можно поставить в соответствие только одно значение параметра . Тогда и координаты ее (x, y) можно рассматривать как функции параметра : , . Эти уравнения дают параметрическое задание огибающей. При этом, так как точка P лежит на кривой , то . Дифференцируя это тождество по , получаем

.

Огибающая и кривая имеют в точке P общую касательную. Нормаль к кривой в точке P имеет координаты , а вектор касательной к огибающей – координаты .

Поэтому и для точки огибающей должно выполняться уравнение . Итак, точки огибающей должны удовлетворять следующим двум уравнениям: . Исключая, если это возможно, из этих двух уравнений , мы получим некоторое уравнение, задающее огибающую. Полученный результат справедлив и в случаях, когда через каждую точку P проходит конечное или бесконечное множество кривых семейства .

Таким образом, получена теорема, которая в известной степени решает вопрос о нахождении огибающей.

Теорема. Пусть кривые семейства в области задаются уравнениями

, ,

где – непрерывно дифференцируемая функция по всем аргументам, удовлетворяющая условию .

Тогда огибающая семейства (если она существует) задаётся уравнениями

, (1)

в том смысле, что каждой точки с координатами огибающей можно указать такое , что системой значений будут удовлетворяться оба уравнения системы (1).

О тметим, что системе уравнений (1) вообще говоря, могут удовлетворять кривые и не являющиеся огибающей данного семейства плоских кривых. Например, системе (1), построенной для семейства кривых, заданного уравнением , удовлетворяет прямая . Однако эта прямая не является огибающей. Она состоит из узловых точек кривых семейства (см. рисунок).

Кривую, координаты точек которой удовлетворяют системе (1), будем называть дискриминантной кривой семейства.

Следовательно, огибающая семейства гладких плоских кривых входит в состав дискриминантной кривой.

Отметим, что регулярная дуга дискриминантной кривой совпадает с регулярной дугой огибающей. Таким образом, дискриминантная кривая совпадает: либо с огибающей, либо с огибающей и множеством особых точек семейства кривых, либо с множеством особых точек семейства кривых.

Поэтому при нахождении огибающей, заданного семейства плоских кривых, обычно поступают следующим образом:

1. находят уравнение дискриминантной кривой, исключая параметр в системе (1);

2. определяют множество особых точек семейства кривых;

3. исключают множество особых точек семейства из дискриминантной кривой.