Введение

История современной геометрии отчётливо делится на три периода: античная геометрия, систематизированная Евклидом, далее аналитическая геометрия Ферма-Декарта, и, наконец, дифференциальная геометрия. Эти три периода её развития зафиксированы существующей системой обучения. Это также имеет и некоторые физиологические объяснения.

Античная или элементарная геометрия изучает простейшие идеализированные наглядные образы, главным образом линейные (точки, прямые, плоскости) и кусочно-линейные (углы, многоугольники и т.д.), средствами обычной логики. Иными словами, истина в элементарной или синтетической геометрии устанавливается путем логического рассуждения. Сборка элементарных умозаключений в доказательство при этом осуществляется геометром, исходя из созерцания чертежа. Шедевром элементарной геометрии является теорема Пифагора.

Геометрические теории, построенные по Евклиду, т.е. аксиоматическим путём, принято называть синтетическим, подчёркивая то обстоятельство, что в рамках такой теории все понятия и теоремы логически синтезируются из основных.

Возможности элементарной геометрии как метода изучения зрительных образов существенно ограничены, по крайней мере, в двух отношениях. Во-первых, эти образы не являются логическими мозаиками, составленными из ограниченного набора элементов, а поэтому их нельзя адекватно описать, комбинируя немногие неопределяемые понятия.

Во-вторых, повседневная логика, являющаяся средством вывода в элементарной геометрии, представляет собой универсальное средство, не всегда удобное в конкретных случаях.

Таким образом, шагом в развитии геометрии должно было стать построение универсального средства.

Так появилась аналитическая геометрия. Она существенно отличается от синтетической геометрии тем, что истина в ней устанавливается при помощи алгебраических, а не логических вычислений.

Возможности аналитической геометрии существенно выше.

Принципиальное достижение аналитического метода состоит в механизации рассуждений и расширении классов объектов изучения (например, алгебраические кривые). Ограниченность аналитической геометрии как метода исследования геометрических объектов состоит в основном в следующем.

Во-первых, аналитическая геометрия не эффективна при исследовании объектов, задаваемых не алгебраическими уравнениями.

Во-вторых, многие задачи, как, например, построение касательной плохо решаемы на языке алгебраических операций.

Таким образом, приходят к дифференциальной геометрии.

Именно задача о касательной и подтолкнула к созданию дифференциальной геометрии, т.е. внедрению дифференциального исчисления в геометрию. Его внедрение позволило дать точный смысл таким интуитивно ясным понятиям как «касательная», «кривизна», «площадь кривой поверхности».

Истина в дифференциальной геометрии устанавливается при помощи как алгебраических, так и дифференциальных вычислений.

Сами слова «дифференциальная геометрия» при возникновении этой науки понимались, как искусство решать задачи геометрии средствами анализа. Ныне, современная дифференциальная геометрия всё в возрастающей степени занимается конструированием и изучением наглядных образов, позволяющих ориентироваться в хитросплетениях дифференциального исчисления.

Таким образом, дифференциальная геометрия – это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых. Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.