Цены на фьючерсы и модель возврата к среднему

В случае моделей возврата к среднему структура цен на фьючерсные контракты в зависимости от сроков их исполнения имеет более сложный вид. Для однофакторной модели эта «срочная структура» задана выражением

,

(10)

где ^ = lnP₀^* +  – (^ –  ,

а  – это мера рыночной цены риска¹⁰.

На Рис.8 сравниваются срочные структуры фьючерсных цен для модели случайного блуждания и однофакторной модели возврата к среднему при значениях параметров r = 6%,  = 3%,  = 33%,  = 0,3,  = 0,2, P₀^* = 20 и P₀ = 22,5. В рамках модели случайного блуждания из этого следует, что  = 5%. Цена на фьючерс просто растёт с темпом 3%, как задано значением параметра сдвига, начиная с исходной спотовой цены P₀ = 22,5. В рамках же модели возврата к среднему стационарная траектория цены также описывается темпом роста 3%, но исходная её точка расположена немного ниже начального значения спотовой цены (P₀^* = 20). В модели возврата к среднему фьючерсная цена поначалу снижается, отражая краткосрочные ожидания того, что спотовая цена будет падать, стремясь приблизиться к стационарной траектории. Со временем цена на фьючерс повышается, отражая долгосрочные ожидания того, что спотовая цена будет расти вслед за стационарным значением цены. Обратите внимание на то, что в модели возврата к среднему ожидаемый темп роста спотовой цены не является постоянной величиной. Это эквивалентно утверждению, что ожидаемый выигрыш от удобства владения не является постоянной величиной.

Рис. 9 демонстрирует, насколько скорректированное на риск вероятностное распределение, заданное фьючерсными ценами, может отклоняться от действительного распределения, и почему, следовательно, необходимо иметь оценку рыночной цены риска, , если нужно выявить действительное распределение. Как показано на рисунке, в модели возврата к среднему темп роста фьючерсной цены может оказаться выше или ниже стационарного темпа роста, в зависимости от рыночной цены на риск. Заметим, что стационарное (или долгосрочное ожидаемое) значение цены одно и то же во всех трёх сценариях, но цены фьючерсов в разных сценариях различные, иногда превышая долгосрочную прогнозную цену, а иногда уступая ей по величине. Это иллюстрирует, что запросто использовать фьючерсную цену в качестве оценки будущей спотовой цены нельзя, нужна соответствующая корректировка. Однако, стоит ещё раз повторить, что для многих задач по стоимостной оценке идентификации действительного распределения не требуется, так как в цене фьючерса уже суммирована вся информация, имеющая значение для определения ценности предполагаемой поставки товара. Это ключевая идея, на которую очень часто ссылаются в финансовой литературе.

Рисунок 8. Сравнение срочной структуры фьючерсных цен в моделях случайного блуждания и возврата к среднему.

Рисунок 9. Стоимостная оценка на момент окончания стадии оконтуривания участка