Формальная модель срочной структуры фьючерсных цен

В предыдущих разделах мы говорили о том, что цены на фьючерсные контракты являются важным дополнительным источником информации, который можно использовать для выяснения наличия тенденции возврата к среднему в динамике цены на биржевой товар. Для того чтобы наиболее полным образом использовать временные ряды фьючерсных цен при оценке модели динамики цены на товар, важно иметь формальное описание того, как цены на фьючерсы разных сроков исполнения связаны с текущей спотовой ценой. Гипотеза ожиданий, упомянутая выше, служит отправной точкой, но она связывает цену на фьючерс с ожидаемым значением спотовой цены в будущем, а не с текущим значением спотовой цены. Так как же соотносятся между собой текущие значения цен на фьючерсные и спотовые контракты?

Цены на фьючерсы в случае отсутствия неопределённости

Ради того, чтобы ответить на этот вопрос, мы начнём с рассмотрения модели в стиле Хотеллинга, в которой цена на товар является детерминистской и следует заданной экспоненциальной динамике с темпом роста (t). Темп роста можно разложить на две компоненты, (t) = r(t) – (t), где r(t) – это непрерывная ставка процента в момент времени t, а (t) – это предельный чистый выигрыш от удобства владения (marginal net convenience yield) в момент времени t. Ставка процента представляет собой нормальную безрисковую норму отдачи, которую должен приносить актив за бесконечно малый интервал времени. Чистый выигрыш от удобства владения – это совокупное отставание действительного темпа роста стоимости актива от безрисковой нормы процента. Он охватывает все факторы, из-за действия которых темп роста цены оказываеся ниже ставки процента. Например, хранение запаса товара на складе позволяет производителям избегать его неожиданной нехватки и поддерживать гладкое течение процесса производства⁸. Так как производитель получает от хранения товарного запаса эту неявную выгоду, он способен прибыльно хранить запас, даже если цена растёт с темпом, отстающим от нормы процента на величину этого самого «выигрыша от удобства обладания». С другой стороны, хранение товара сопряжено с дополнительными издержками. Наличие издержек хранения увеличивает требуемое повышение цены товара. Параметр (t) описывает нетто-эффект этого и иных факторов, из-за действия которых темп роста цены оказывается меньше ставки процента, отсюда и термин: «чистый выигрыш от удобства обладания».

Предполагая, что темп роста , ставка процента r – а потому и «выигрыш от удобства обла­дания»  – неизменны во времени, текущая цена на фьючерсный контракт со сроком ис­полнения T, F_t(T), оказывается связанной с текущей ценой спотового рынка, P_t, следующим уравнением:

(8)

Уравнение (8) утверждает, что цена фьючерса в точности равна ожидаемому значению спотовой цены в момент времени T, которое, в свою очередь, равняется текущему значению спотовой цены, помноженному на фактор роста с темпом r – .

Цены на фьючерсы и модель случайного блуждания

Выше, при первом представлении «гипотезы ожиданий», мы отметили, что абстрагируем­ся от вопроса, премия или дисконт за риск были включены в цену фьючерса. Согласно уравнению (3), цены на фьючерсы просто-напросто равняются ожидаемому значению спотовой цены. В детерминистском случае, как показывет уравнение (8), эта упрощённая версия выполняется естественным образом, потому что риск отсутствует. Однако, в лю­бой модели с неопределённостью мы должны учесть возможность того, что цены фьючер­сов включают в себя премию дибо дисконт на риск. В случае модели случайного блуждания можно показать, что фьючерсная цена связана со спотовой ценой следующей разновидностью уравнения (8):

.

(9)

Здесь  – это рыночная цена риска, которая может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от того, имеет место премия или дисконт на риск. – это скорректированное на риск вероятностное распределение спотовой цены⁹. Заметим, что в отличие от детерминистского случаея, в случае модели случайного блуждания равенство  = r –  не выполняется, а вместо него выполнено равенство –  = r – . Из уравнения (9) видно, что данные фьючерсного рынка позволяют нам оценить лишь разность между параметром сдвига в динамике цены на товар, , и рыночной ценой риска, , используя значения ставки процента и «выигрыша от удобства владения». Для того чтобы изолиро­ванно оценить сам параметр сдвига, потребуется какая-нибудь оценка рыночной цены риска. Поскольку оценки рыночной цены риска очень нестабильны, постольку этим фактом задаётся предел той информации, которую можно извлечь из данных фьючерсного рынка в дополнение к информации о параметре сдвига, полученной на основе временных рядов спотовых цен.

Во многих случаях проблему оценки параметра сдвига и рыночной цены риска можно обойти. Для некоторых задач именно общая оценка разницы между параметром сдвига и рыночной ценой риска служит достаточной статистикой при стоимостной оценке, так что нет нужды рассматривать эти параметры по отдельности. На уровне интуитивного понимания эту концепцию можно свести к тому факту, что цена на фьючерс по определению является стоимостной оценкой поставки товара в момент времени, заданный датой исполнения контракта. С одной и той же ценой на фьючерс согласуются многочисленные комбинации значения параметра сдвига спотовой цены и дисконта на риск – повышенное значение параметра сдвига погашается более высоким дисконтом на риск. Но для стоимостной оценки предполагаемой поставки товара нужно знать лишь фьючерсную цену, вне зависимости от того, какая именно комбинация параметра сдвига и дисконта на риск имеет место на самом деле. По-другому эту же мысль можно выразить, следующим образом: всё, что имеет значение для многих случаев стоимостной оценки, это ожидаемое значение спотовой цены, рассчитанное на основе скорректированного на риск вероятностного распределения, . Данные о фьючерсных ценах позволяют нам оценить параметры этого скорректированного на риск распределения, т.е. в данном случае, величину пропорционального «выигрыша от удобства владения», , – даже если они не способны существенно улучшить наши оценки остальных параметров базового распределения или процесса, движущего ценами на товар, т.е. .