Статистическая проверка наличия тенденции возврата к среднему

Для того чтобы эмпирически проверить, какой ценовой модели соответствует временной ряд товарной цены – случайному блужданию или процессу возврата к среднему – эконо­мисты-исследователи в первую очередь тестируют временной ряд на стационарность. Как уже отмечалось выше, в модели случайного блуждания дисперсия будущего значения цены с течением времени неограниченно возрастает, и потому можно сказать, что случай­ное блуждание – нестационарный процесс. Однако, процесс, который имеет тенденцию возвращаться к долгосрочному тренду, является стационарным. В эконометрике разрабо­таны специальные тесты на стационарность. Группа тестов, включающая известный тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller), основана на поиске так называемого «единичного корня» для временного ряда цены на товар⁴. К сожалению, мощность этих тестов сравнительно низка, и при отсутствии достаточно большого числа наблюдений за очень долгий период времени отвергнуть нулевую гипотезу о случайном блуждании трудно, даже если временной ряд на самом деле сгенерирован процессом возврата к среднему. Впрочем, в нескольких случаях данных оказалось достаточно для того, чтобы тест принёс результаты. Например, в работе Pindyck and Rubinfeld (1991) тестам на «единичный корень» подверглись временные ряды цен на сырую нефть, медь и строевой лес за период с 1870 по 1986 гг. Оказалось, что гипотезу случайного блуждания при 5%-ном уровне значимости пришлось отклонить для сырой нефти и меди, но не для леса.

Информация, содержащаяся в ценах фьючерсного рынка

Вплоть до этого момента мы обращали всё своё внимание исключительно на «спотовую» цену, т.е. цену контракта на немедленную поставку товара. Однако, рыночные сделки по многим товарам совершаются в виде форвардных или фьючерсных контрактов, и данные о ценах на эти контракты являются дополнительным источником информации о динамике лежащей в их основе спотовой цены на товар⁵. Даже если данные о ценах на спотовом рынке явно не свидетельствуют в пользу наличия тенденции возврата к среднему в цене на товар, данные о фьючерсных ценах нередко твёрдо поддерживают эту гипотезу.

Так называемая «гипотеза ожиданий» (the expectations hypothesis) утверждает, что текущая цена фьючерсного контракта с исполнением в момент времени T равна ожидаемому значению спотовой цены, которая будет преобладать в момент времени T:

F0(T) = E0(PT).

(3)

В формуле (3) используются следующие обозначения. F – это фьючерсная цена; нижний индекс 0 указывает на текущую котировку цены на фьючерсный контракт; взятая в скобки зависимая переменная Т означает, что речь идёт о контракте с исполнением или поставкой в момент времени Т; P – спотовая цена; нижний индекс Т означает, что имеется в виду спотовая цена, которая будет превалировать в момент времени Т; E – оператор математического ожидания, а его нижний индекс 0 говорит о том, что ожидание рассмат­ривается в текущий момент времени. Существует объёмная литература о том, выполня­ется ли «гипотеза ожиданий» на самом деле, а если нет, то какая модификация данных помогает добиться её выполнения. Так, важным моментом, не учтённым в уравнении (3), является риск: фьючерсная цена должна равняться ожидаемому значению спотовой цены лишь после поправки на риск (в виде ценовой премии либо ценового дисконта). Ниже мы рассмотрим некоторые моменты, относящиеся к данному вопросу, но пока будем работать с «гипотезой ожиданий» в её грубом виде, описываемом уравнением (3). Если выполнена «гипотеза ожиданий», то при превышении текущей спотовой ценой её долгосрочного тренда следует ожидать, что в будущем спотовая цена должна снизиться в направлении этого тренда. Следовательно, цены фьючерсных контрактов на поставку в разные сроки в будущем должны постепенно снижаться по мере увеличения срока исполнения, сходясь к значению спотовой цены, соответствующему долгосрочной стабильной динамике. С дру­гой стороны, в том случае, когда текущая спотовая цена ниже своего долгосрочного значения, надо ожидать, что в течение близлежащего периода времени она будет расти, и поэтому фьючерсные цены на поставку в разные сроки в продолжение этого периода должны постепенно возрастать, стремясь к долгосрочному трендовому значению спотовой цены.