Имитационные расчёты траекторий цены

На Рис.1 показаны две траектории изменения цены во времени, имитирующие процесс случайного блуждания при значениях параметров  = 3% and  = 20%. Начальное значение цены товара выбрано равным P₀ = 100. Ожидаемый темп роста цены задан равным 3% в год, как показано тонкой пунктирной линией. На первой из траекторий (Пример А) цена через два года принимает значение P₂ = 104, после чего ожидается, что она будет расти от этого значения с темпом 3% в год, что показано тонкой сплошной прогнозной кривой. Сверху и снизу прогнозной кривой двумя пунктирными кривыми отмечены границы 66%-ного доверительного интервала прогнозных значений цены (т.е. ожидается, что с вероятностью 66% цена в любой момент времени будет оставаться в этих границах). Чем выше волатильность, тем более высока неопределённость относительно того, где окажется цена в будущем, и тем дальше друг от друга располагаются границы доверительного интервала в любой момент времени. Важным свойством процесса случайного блуждания является тот факт, что ширина доверительного интервала с течением времени неограниченно увеличивается.

На второй траектории (Пример В) цена через два года принимает значение P₂=123, после чего ожидается, что она будет расти от этого значения с темпом 3% в год, что показано тонкой сплошной прогнозной кривой. Обратите внимание на то, что прогнозные значения цены через два года никак не привязаны к нынешнему значению цены. Поскольку текущее значение цены в момент времени t = 2 превышает её прогноз, сделанный в момент времени t = 0, постольку и все прогнозные значения цены на будущее заметно выше значений, предсказанных в момент времени t = 0. Это видно из сравнения двух линий тренда, берущих начало из точек на графике, соответствующих моментам времени t = 0 и t = 2.

Оценка параметров модели

Модель случайного блуждания в особенности легко оценивать на основе фактичеких данных о движении цены. В качестве оценки параметра сдвига следует просто взять усреднённый ежегодный темп роста цены за рассматриваемый период времени. Оценкой волатильности служит обычная оценка стандартного отклонения процентных приращений цены за рассматриваемый период времени. На Рис.2 показаны фактическая динамика цены на нефть за период с января 1989 г. по октябрь 1995 г., а также прогноз будущих значений цены, построенный на основе модели случайного блуждания со сдвигом. Фактическая динамика цены изображена сплошной линией, несколько убывающей от начала к концу данного периода времени. Это небольшое снижение влечёт очень маленькое оценочное значение параметра сдвига: . Показанный на рисунке прогноз основан на предположении  = 0%. Пунктирные линии задают границы доверительного интервала для будущих цен на нефть, предполагая, что  = 35,1% (оценка получена пересчётом на годовое счисление стандартного отклонения фактических еженедельных процентных изменений цены за период с января 1989 г. по октябрь 1995 г.).

Хотя параметры случайного блуждания легко оценить, результаты не всегда надёжны и требуют осторожного обращения. Например, оценка параметра сдвига в особенности чувствительна к выбору временного интервала исходных данных. Оглядываясь на Рис.2, можно увидеть, что выбор интервала, начинающегося январём 1989 г. и заканчиваю­щегося мартом 1994 г. приводит к отрицательному значению этой оценки, раному –4,4%, в то время как выбор интервала с марта 1994 г. по октябрь 1995 влечёт положительную оценку, близкую 10%. Если выбрать интервал, начинающийся либо занакчивающийся периодом Войны в Персидском заливе, то результаты окажутся ещё более экстремальными.

Оценки волатильности также могут оказаться чувствительными к выбору исходных данных. На них могут повлиять как выбор исторического периода, так и длительность временного интервала для измерения ценовых приращений. Более короткие интервалы – например, суточной или недельной длительности – часто приводят к более высоким оценкам волатильности, чем более длинные – например, месячной продолжительности¹. Приведённая в работе (Paddock, Siegel and Smith, 1988) оценка волатильности, равная 14%, получена на основе ежемесячных ценовых данных об импортируемой сырой нефти за период с 1974 по 1980 гг. Авторы, впрочем, замечают, что волатильность цен на сырую нефть существенно выросла с начала 1980-х гг., т.е. с того периода, который интересовал их именно в этом исследовании. По мнению Kemna (1993), оценки волатильности цены на нефть лежат в интервале от 15% до 20%, в зависимости от выбранного исторического периода. Гибсон и Шварц (Gibson and Schwartz, 1991) на основе еженедельных данных за период с ноября 1986 г. по ноябрь 1988 г. оценивают нижний и верхний пределы волатильности равными, соответственно, 30% и 33%

В своём исследовании, посвящённом стоимостной оценке медных рудников, Бреннан и Шварц (Brennan and Schwartz, 1985) исходили из скорректированного на риск ожидаемого темпа роста цен на медь, равного 9%, и волатильности, немного превышающей 28%².

При использовании модели случайного блуждания для целей ценового прогнозирования и стоимостной оценки важно помнить, что оценки параметров должны отражать будущее, а не прошлое. Исторические данные полезны лишь постольку, поскольку они обеспечивают наилучшие оценки будущей ценовой динамики. Могут возникать ситуации, в которых оценки, выведенные из исторических наблюдений, следует пересмотреть в свете дополнительной информации, свидетельствующей о сдвиге действительных значений параметров, лежащих в основе модели. Аналитики товарных рынков нередко имеют доступ к важной информации о будущих изменениях спроса и предложения, и эту информацию иногда можно легко включить в такую стохастическую модель, как модель случайного блуждания. Например, предположим, что аналитик обладает информацией, позволяющей предположить, что цена на товар будет снижаться в краткосрочной перспективе, а в долгосрочной – расти. В этом случае параметр сдвига в модели следует задать функцией времени: например, (t) = –2% для t < 3 и (t) = +3% для t ≥ 3.³. Аналогично, волатильность цены совсем не обязательно должна оставаться постоянной в течение всего горизонта прогнозирования.

Рис. 1. Случайное блуждание. Случайная реализация ценовой траектории, линия прогноза и доверительные интервалы. Тёмной сплошной линией показана фактическая динамика цены на товар в течение 2 лет. Тонкая пунктирная линия слева представляет собой тренд прогнозных значений цены на момент времени t = 0. Она исходит из начального значения в $100 и растёт с темпом 3% годовых. Более жирная пунктирная линия справа представляет собой тренд прогнозных значений цены на момент времени t = 2. Она берёт своё начало из фактического значения цены в этот момент, а затем растёт с темпом 3% годовых. Сложным пунктиром показаны границы 66%-го доверительного интервала для прогнозных значений цены на момент времени t = 2. Обратите внимание, что ширина доверительного интервала с течением времени неограниченно возрастает. Также обратите внимание на то, что прогноз цены всё время пересматривается вслед за сдвигами значений текущей цены. Новое прогнозное значение цены целиком и полностью основывается на текущем значении цены и никаким иным образом не зависит от предыдущей динамики цены, включая её начальное значение.

Рисунок 2. Модель случайного блуждания цен на нефть.

ТЕНДЕНЦИЯ ВОЗВРАТА К СРЕДНЕМУ ЗНАЧЕНИЮ В ДИНАМИКЕ ТОВАРНЫХ ЦЕН

Равновесный цены на товарных рынках

Случайное блуждание изначально получило популярность в качестве модели поведения цен на фондовом рынке. В течение примерно трёх десятилетий на основе этой модели было разработано огромное количество инструментов денежной оценки активов, наиболее известным из которых является знаменитая формула Блэка-Шоулза. К сожалению, модель случайного блуждания описывает движение цен на товары гораздо хуже, чем динамику цен на акции. Её частое использование в качестве модели товарных цен большей частью объясняется просто тем, что модель случайного блуждания известна экономистам лучше других моделей ценовой неопределённости. Разнообразие оценочных формул, полученных на её основе, намного превосходит число формул, разработанных на базе других моделей. Тем не менее, использование модели случайного блуждания при описа­нии динамики товарных цен означает выигрыш в умении пользоваться инструментом анализа за счёт проигрыша в его точности. Динамика большинства цен на товары далека от случайного блуждания, и требование аккуратности стоимостной оценки зачастую заставляет аналити­ка выйти за рамки этой привычной ему модели.

Ключевым отличием товарных цен от цен на акции является предсказуемость ценовых изменений. Если фондовые рынки функционируют эффективно, то никакое изменение цены акции, выходящее за рамки обычного темпа роста, не поддается предсказанию. Каждое изменение цены на акцию происходит независимо от предыдущих изменений, и тенденции возврата цен на акции к какому-либо особому уровню не должно наблю­даться. Если фондовые рынки эффективны, то динамика цен на акции должна представлять собой случайное блуждание со сдвигом.

В случае товарных цен ситуация прямо противоположная. Здесь вполне естественно считать, что за периодом повторяющихся подъёмов цены должен последовать период ценовых падений. Лежащие в основе ценовой динамики экономические законы рынка налагают ограничения на колебания цены товара. Если цена на какой-нибудь товар су­щественно возрастает, то появляются новые источники его предложения, а товары-заме­нители становятся более конкурентоспособны. Наоборот, если наблюдается значительное снижение цены, и прибыли в отрасли падают, то в ответ происходит сокращение произ­водственных мощностей, до тех пор пока не восстановится рентабельность деятельности оставшихся на рынке постав­щиков. Подобная реакция рынка требует времени, и потому цена на товар способна временно отклоняться вверх и вниз от своего долгосрочного значения, соответствующего уровню долгосрочных предельных издержек, но в конце концов она стремится вернуться к нему. Этот процесс временных отклонений кратко­срочной цены и постепенного возвращения цены на товар к своему долгосрочному тренду в точности представляет собой как раз ту ценовую динамику, которая исключается моделью случай­ного блуждания. В то время как экономическая теория утверждает, что цены на акции не должны стремиться вернуться ни к какому отдельно выбранному уровню, та же экономи­ческая теория говорит о том, что цены на рынке товара имеют тенденцию возвращаться к некоторому долгосрочному тренду.