Приложение в к Главе 3 [“a small example of flexibility analysis”]
Как получено значение «цены риска», равное 0,3?
Нам известна возможная динамика цены «базового актива», то есть природного газа, в будущем. Она приведена на рис.В.1.
Рис.В1. Предполагаемая динамика цены природного газа, $/тыс. куб. ф. |
|
Для того чтобы правильно определить ценность денежного потока величиной $1 в каждом из будущих «состояний мира» U, D, UU, UD, DU, DD, необходимо обратиться к фондовому рынку и посмотреть, торгуются ли там сегодня (то есть, в состоянии “0”) какие-либо активы, чья цена в будущем будет близко коррелировать с ценой газа. В статье неявно предполагается, что такие финансовые активы действительно имеются (например, это могут быть акции компаний – производителей природного газа). Назовем один из таких активов «активом G». Ради простоты изложения будем считать, что на такой актив не начисляются дивиденды, а весь возможный доход связан с ростом его цены. Предположим абсолютную корреляцию цены актива G с ценовой динамикой природного газа. Купив в периоде t = 0 единицу G по цене pG, любой желающий сможет продать его в периоде t = 1 по цене $1,25, если реализуется состояние мира U, либо по цене $0,75, если реализуется состояние мира D. Кроме того, имеется возможность обождать еще один период и реализовать G по одной из четырех возможных цен ($1,4375, $0,8625, $1,0625, $0,6375), в зависимости от того, какое из четырех возможных состояний мира будет иметь место (см. рис.В2). В статье неявно предполагается, что текущая рыночная цена актива pG = 0,855.
Кроме того, в статье явно предполагается, что текущая цена безрискового актива, которая обеспечит в периоде t = 1 гарантированную выплату в $1 (а в периоде t = 1 гарантированную выплату в $1,05263 = 1/0,95), сегодня равна pВ = $0,95.
Зададим вопрос: как, зная текущие равновесные значения цен pВ и pG, определить текущие цены будущих поступлений денежных средств, обусловленных реализацией «состояний мира» U, D, UU, UD, DU и DD? Ответ на этот вопрос проще получить, если вначале его переформулировать. Допустим, на рынке торгуются активы u, d, uu, ud, du и dd, единица каждого из которых дает право на получение дохода в $1 в будущем при условии наступления соответствующего состояния мира, а во всех остальных состояниях мира ничего не стоит. Определим равновесные цены pU, pD, pUU, pUD, pDU, pDD. Для этого нам придется составить несколько «имитирующих портфелей». Купив 1,25 единиц актива u и 0,75 единиц актива d, инвестор получает портфель активов, в точности имитирующий актив G. Следоватеьно, и цена такого портфеля должна равняться цене актива G. Купив по единице актива u и актива d, инвестор может сформировать портфель активов, в точности имитирующий актив B. Следовательно, и цена такого портфеля должна равняться цене актива B.
Рис.В2. Предполагаемая динамика цены актива G, $/шт. |
|
Рис.В3. Предполагаемая динамика цены безрискового актива B, $/шт. . |
|
Получаем систему из двух уравнений:
Решив эту систему, находим:
Аналогичным образом получаем систему из четырех уравнений для определения равновесных цен активов uu, ud, du и dd:
Первое уравнение вытекает из наличия двух способов обеспечить себе в периоде t = 0 денежные выплаты периода t = 2, имеющие структуру, имитирующую поведение цены природного газа. Один из них – это покупка единицы безрискового актива G, а другой – приобретение портфеля, содержащего 1,4375 единиц актива uu, 0,8625 единиц актива ud, 1,0625 единиц актива du и 0,6375 единиц актива dd. Поскольку оба способа дают один и тот же результат, затраты на них должны быть одинаковыми, иначе на рынке возникла бы возможность получать деньги «из воздуха», просто обменивая один портфель на другой.
Второе уравнение вытекает из наличия двух способов обеспечить в периоде t = 0 получение гарантированного дохода в $1/0,95 в периоде t = 2. Один из них – это покупка единицы безрискового актива В, а другой – приобретение портфеля, содержащего по 1/0,95 единиц каждого актива uu, ud, du и dd.
Левая часть третьего уравнения описывает еще один способ обеспечить в периоде t = 0 получение гарантированного дохода в $1 в периоде t = 2. Нужно составить портфель, содержащий единицу актива d, а также по 1/0,95 единиц активов uu и ud. Если в периоде t = 1 реализуется состояние u, то инвестору останется лишь ждать наступления периода t = 2. Если же в периоде t = 1 реализуется состояние d, то инвестору придётся получить доход от актива d, и на вырученную сумму $1 приобрести безрисковый актив.
* © Energy Economics Education Foundation 1998
** Faculty of Business and School of Mining and Petroleum Engineering, University of Alberta, Edmonton, Alberta, T6G 2R6, Canada. E-mail: laughton@gpu.srv.ualberta.ca
1 Читатель, знакомый с биномиальным методом расчёта опционной ценности, обратит внимание на то, что значения цены в состояниях UD и DU не равны друг другу. Это происходит вследствие зависимости неопределённости от длительности прогноза. Типичная формулировка биномиального метода подразумевает эквивалентность состояний мира UD и DU и не может быть использована при анализе ситуаций рассматриваемого нами типа.
2 Это в точности верно лишь в случае, когда затратами на ликвидационные работы или ликвидационной стоимостью проекта можно пренебречь. При значительных ликвидационных издержках может иметь смысл сдвинуть момент ликвидации на срок позже экономического предела, если понимать его так, как мы его определили. Некоторые потери от избыточной добычи будут компенсированы выигрышем от переноса затрат на ликвидацию в более отдалённое будущее.
3 Хотя для наших целей без этого можно обойтись, упомянем, что с – это так называемый «выигрыш от удобства владения» ("convenience yield") или «недостаток нормы отдачи» ("rate-of return shortfall"), о котором пойдёт речь в следующей статье данной серии (Baker et al. 1998). Он равен разнице между ожидаемой доходностью требования на цену нефти в будущем и ожидаемым темпом роста цены на нефть (который в нашей модели равен нулю).
4 Описание этих методов приводится в большинстве справочников по численному анализу для начинающих. См., например, книгу Morton and Mayers (1994).