14. Вычислить .

Внутри окружности знаменатель дроби обращается в нуль в точке . Для применения формулы Коши интеграл переписывается

= .

Функция является аналитичной в области , поэтому

= .

15. Вычислить для случаев, когда контур с ограничивает области А) ; Б) ; В) .

Очевидно, что = .

А) В замкнутой области подынтегральная функция является аналитической, поэтому для этого случая =0.

Б) В замкнутой области подынтегральная функция является аналитична всюду, кроме точки , поэтому

.

В) В замкнутой области имеются две точки, в которых знаменатель обращается в нуль. В этом случае возможно два способа.

Первый способ - разложение дроби на две простые:

; ; ,

откуда:

.

Второй способ - построение многосвязной области. Построим окружности с центрами в точках таких, чтобы они не пересекались и лежали в круге . В трехсвязной области, ограниченной внешним конту­ром и внутренними контурами подынтегральная функция ана­литична.

По теореме Коши для многосвязной области

.

К каждому интегралу правой части применяем формулу Коши:

.

16. Вычислить.

16.1. . Ответ: .

16.2. . Ответ: .

16.3. . Ответ: .

16.4. . Ответ: 0.

16.5. . Ответ: .

17. Вычислить интеграл: .

Подынтегральная функция является аналитической в области всюду кроме точки . Поэтому

= .

Полагая, что речь идет о первой производной, получим

= = = .

18. Вычислить.

18.1. . Ответ: .

18.2. . Ответ: .

18.3. . Ответ: 0.

18.4. . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 4

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ

1. Аналитическая в круге функция f(z) в этом круге может быть представлена рядом Тейлора:

,

где - коэффициент ряда разложения;

; n = 0, 1, 2, ....

2. Представить в виде ряда Тейлора функцию в окрестности точки , ограничившись тремя членами ряда

; .

.

Таким образом,

.

Другой способ заключается в разложении на простые дроби.

3. Разложить в ряд Тейлора функции:

3.1. по степеням . Ответ:

=

3.2. по степеням . Ответ:

.

3.3. по степеням . Ответ: .

3.4. по степеням . Ответ: .

4. Разложение в ряд Лорана.

Функция f(z), аналитическая в кольце К: , может быть представлена рядом Лорана

,

где

;

- любой замкнутый контур, лежащий целиком в кольце К и охватывающий точку а, которая является центром разложения.

Ряд Лорана можно получить, расширяя ряд Тейлора в область отрицательных значений n, n < 0. Действительно,

.

Сумма б членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени на­зываются главной частью ряда Лорана. Сумма в членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана.

Ряд Лорана (а) сходится в области, в которой сходятся ряды б и в. Пусть ряд Тейлора сходится в круге , ряд (б) сходится вне круга , тогда если r > R, то ряд Лорана расходится, если r < R, то сходится в кольце К.

5. Разложить в ряд Лорана в точке функцию .

Функция имеет две особые точки: . Следовательно имеется 3 кольца, с центром в точке в которых функция является аналитической: а) круг ; б) кольцо ; в) кольцо .

Представим .

а) В круге функция раскладывается в ряд Тейлора:

;

.

Суммируя выражения, получим:

= .

б) В кольце

С использованием формулы Коши могут быть определены значения

Таким образом,

в) В кольце .

.

Таким образом, разложение функции , а . В итоге получим:

.=

6. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестностях ее особых точек.

Ответ: В кольце ;

В кольце .

7. Понятие об особых точках

Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется кольцо К, вида , в котором функция f(z) является аналитической и аналитичность не имеет места в самой точке.

Изолированная особая точка а называется устранимой, если существует . Особенность функции в этой точке можно устранить, если положить . Например, z = 0 является устранимой изолированной особой точкой функции , т. к. .

Изолированная особая точка а называется существенно особой, если не существует . Например, z = 0 является существенной особой точкой фун­кции , т.к. ; .

Изолированная особая точка а называется полюсом, если функция f(z) неограниченно возрастает при . Например, точка z = 3 является полюсом функции .

Точка а является нулем функции порядка m, если

.

Каждый полюс а функции f(z) является нулем а функции . По­рядком полюса а функции f(z) называют порядок нуля а функции Например, z = 3 является полюсом третьего порядка функции .

8. Найти нули функции и определить их порядок.

Ответ: , ,

; .

Таким образом речь идет о нулях второго порядка.

9. Найти нули функции и определить их порядки.

Ответ: , , , следовательно нуль простой.

10. Найти порядок нуля .

Разложим . Подставив разложение в формулу, будем иметь:

следовательно, порядок нуля - пятый.

10. Найти нули и определить их порядки.

10.1. . Ответ: - второго порядка; - первого порядка; - первого порядка.

10.2. . Ответ: , первого порядка.

10.3. . Ответ: , первого порядка. 0 - третьего порядка.

11. Устранимая особая точка.

У функции точка является устранимой, т.к.

.

12. Найти полюса функций и их порядки.

12.1. . Ответ: , порядок третий.

12.2. . Ответ: - порядок второй; - порядок первый.

13. Определить характер особой точки функции .

Рассмотрим поведение функции на действительной и мнимой осях. На действительной оси и . На мнимой оси . Следовательно, - существенно особая точка.

14. Определить характер особых точек функций:

14.1. , . Ответ: полюс четвертого порядка.

14.2. , . Ответ: полюс второго порядка.

15. Понятие вычета.

15.1. Пусть точка а является изолированной особой точкой функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) является аналитической. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана по степеням . В этом разложении особую роль играет коэффициент , (коэффициент при сомножителе ), который называется вычетом функции f(z) в точке z = a и обозначается Res = .

15.2. Если функция f(z) является аналитической в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек и непрерывной на границе c области D, то

Res .

15.3. Res ; Res .

15.4. Res при .

15.5. Вычет в полюсе порядка т.

Res ,

в частности, при т = 1

Res ,

15.6. Правило определения порядка полюса: нужно из порядка нуля знаменателя вычесть порядок нуля числителя.

16. Найти вычеты функций в их особых точках.

16.1. .

Особыми точками функции являются точки и . В точке имеем: , следовательно эта точка является устранимой. В точке имеем: , следовательно эта точка является полюсом первого порядка.

Согласно зависимости для определения вычета

Res .

16.2. .

Особые точки: - полюс третьего порядка; - полюс пер­вого порядка.

Res .

Res .

16.3. .

Особые точки: полюса первого порядка: ; ; ; .

Res ; Res ;

Res ; Res .

16.4. .

Разложим функцию в ряд Лорана:

=

Вычет - это коэффициент при , а он равен 0.

17. Определить вычеты функций:

17.1. Res , . Ответ: 1.

17.2. Res , . Ответ: -16/3.

17.3. Res , . Ответ: 1.

18. Определить вычеты функций в их особых точках.

18.1. .

Особыми точками функции будут и . Точка - простой полюс, поэтому

Res .

Для определения характера особой точки разложим функции и в ряд Лорана, имеем:

; .

Перемножая ряды, получим

= .

Выделим из произведения коэффициент при , получим

.

Так как в ряде Лорана имеется бесконечное число членов с положительными степенями и бесконечное число членов с отрицательными степенями, особая точка является существенной. Ее вычет в точке равен

Res = е - 1.

18.2. .

Особой точкой данной функции является точка . Для установления характера этой точки разложим функцию в ряд Лорана в окрестностях . Выразим

.

Ряд Лорана функции имеет вид

=

Перемножая ряды, получим

=

=

Ряд содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями , следовательно точка является существенной особой точкой и вычет в данной точке

Res .

19. Найти вычеты в особых точках следующих функций.

19.1. . Ответ: Res . Res . Res .

19.2. . Ответ: Res . Res .

19.3. . Ответ: Res .

ЗАНЯТИЕ 9.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КОШИ О ВЫЧЕТАХ

К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Теорема Коши о вычетах. Если функция f(z) является аналитической в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных осо­бых точек и непрерывной на границе c области D, то

Res .

2. Вычислить интеграл

2.1. .

В области функция аналитична всюду кроме точек и . По теореме Коши о вычетах

= Res + Res ].

Точка является устранимой особой точкой, т.к. , поэтому Res = 0.

Точка - полюс первого порядка.

Res = .

Таким образом, = .

2.2. .

В области функция является аналитической всюду кроме точек и , являющихся простыми полюсами. Все другие особые точки лежат вне области , поэтому не учитываются. Имеем

Res ; Res .

Поэтому = .

2.3. .

В области функция имеет две особых точки: - полюс первого порядка и - существенно особая точка.

Известно, что если функция в окрестностях точки а представима в виде частного двух функций, т.е. , причем а есть простой полюс, т.е. , то Res .

Отсюда Res .

Для нахождения вычета в точке необходимо представить функцию в виде ряда Лорана. Функция является четной, поэтому в ее разложении присутствуют только четные степени и , а следовательно .

По теореме Коши о вычетах

.

2.4. .

В области функция имеет две особых точки: - полюс первого порядка и - существенно особая точка.

Res .

Для определения Res напишем ряд Лорана для функции в окрестностях точки . Имеем

= .

Так как ряд Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями , точка является существенно особой точкой.

Res .

Следовательно, = .

3. Вычислить интегралы.

3.1. . Ответ: 0.

3.2. . Ответ: .

3.3. . Ответ: .

3.4. . Ответ: .

3.5. . Ответ: .

4. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.

4.1. Функция является аналитической в бесконечно удаленной точке, если функция является аналитической в точке . Точка является изолированной особой точкой функции если в ее окрестности нет других особых точек функции . Говорят, что является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой , в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

4.2. Теорема. Если является устранимой особой точкой функции , то лорановское разложение в окрестности этой точки не содержит положительных степеней ; если - полюс, то разложение содержит конечное число положительных степеней ; если - существенно особая точка, то разложение содержит бесконечное число степеней .

Вычетом функции в бесконечности называют величину

Res ,

где -окружность с достаточно большим радиусом , проходимая по часовой стрелке. Из этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при в лорановском разложении функции, взятому с противоположным знаком:

Res .

4.3. Теорема. Если функция имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю, т.е. Res Res .

5. . Найти Res .

Преобразуем . Это выражение можно рассматривать как лора­нов­ское разложение в бесконечно удаленной точке. Имеем =1, и точка является устранимой особой точкой. Таким образом, С_-1 = 1 и, следовательно Res .

6. Вычислить интеграл.

6.1. .

Полюсами первого порядка функции являются корни уравнения , лежащие в окружности радиуса 2. Преобразуем функцию:

.

В точке функция имеет разложение:

0 + = .

Из разложения видно, что коэффициент С_-1 = 0, а следовательно

Res Res .

6.2. .

Подынтегральная функция внутри окружности имеет 5 особых точек, являющихся кратными полюсами, а следовательно использование теоремы о вычетах приводит к большим вычислениям. Поэтому

= Res .

.

Коэффициент разложения С₁ в точке :

.

Следовательно, Res = -1.

Отсюда, = Res = .

7. Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:

7.1. . Ответ: 0.

7.2. . Ответ: 0.

7.3. . Ответ: .

8. Интегралы от рациональных функций вида , где и - полиномы степеней , соответственно.

Если непрерывна на всей действительной оси ( ) и , то , где означает сумму вычетов функции во всех полюсах, расположенных в верхней полуплоскости.

Пример: Вычислить интеграл .

Решение. Так как подынтегральная функция четная, то

.

Введем функцию , которая на действительной оси, т.е. при , совпадает с . Функция имеет в верхней полуплоскости полюс второго порядка в точке . Вычет относительно этого полюса равен

Res .

Пользуясь формулой для вычисления интегралов, имеем:

.

9. Вычислить интегралы с бесконечными пределами.

9.1. . Ответ: .

9.2. . Ответ: .

9.3. . Ответ: .

9.4. . Ответ: .

10. Лемма Жордана. Пусть - функция, аналитическая в верхней полуплоскости , за исключением конечного числа особых точек, и стремится в этой полуплоскости к нулю при . Тогда при : .

11. Вычислить интеграл .

Найдем вспомогательную функцию . Нетрудно видеть, что если , то совпадает с подынтегральной функцией. Рассмотрим контур, приведенный на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Контур интегрирования

При достаточно большом на указанном контуре функция удовлетворяет неравенству и следовательно при . Значит, по лемме Жордана

,

где - дуга полуокружности с центром в точке 0 и радиусом R.

Для любого по теореме о вычетах имеем

,

где

.

В пределе при , учитывая соотношение , получим

.

Отделим слева и справа действительные и мнимые части, получим

.

В силу того, что подынтегральная функция является четной,

.

12. Вычислить интегралы.

12.1. . Ответ: .

12.2. . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 6

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Функция-оригинал.

1.1. Функцией-оригиналом называется функция действительного аргумента, удовлетворяющая условиям:

1) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2) для всех отрицательных t; ;

3) существуют такие постоянные М > 0 и s, что для всех t

. (1)

Нижняя грань всех чисел s, для которых справедливо неравенство (1), называется показателем роста функции .

Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция Хевисайда 1(t).

1.2. Показать, что функция является функцией-ориги­налом.

Действительно, функция является локально-интегрируемой, поскольку существует для любых и . Условие 2) выполняется в силу задания функции. Наконец, , так что в качестве М можно взять любое число > 1.

1.2. Проверить, какие из функций являются функциями-оригиналами.

1.2.1. . Ответ: да.

1.2.2. . Ответ: нет.

1.2.3. . Ответ: да.

1.2.4. . Ответ: нет.

2. Изображений функций по Лапласу.

2.1. Изображением функции по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством:

.

Функция определена в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

2.2. Найти изображение функции , а > 0.

.

2.3. Найти изображение следующих функций.

2.3.1. . Ответ: .

2.3.2. . Ответ: .

2.3.3. . Ответ: .

2.3.4. . Ответ: .

3. Свойства преобразования Лапласа.

3.1. Линейность: . Найти изображения функций.

3.1.1. . Ответ: .

3.1.2. . Ответ: .

3.1.3. . Ответ: .

3.2. Теорема подобия: для любого постоянного . Найти изображения функций, пользуясь теоремой подобия и свойством линейности.

3.2.1. . Ответ: .

3.2.2. . Ответ: .

3.2.3. . Ответ: .

3.3. Дифференцирование оригинала:

.

Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображения функций.

3.3.1. .

. .

,

следовательно,

.

3.3.2. . Ответ: .

3.3.3. . Ответ: .

3.3.4. . Ответ: .

3.3.5. . Ответ: .

3.4. Дифференцирование изображений:

; .

Пользуясь теоремой о дифференцировании изображений, найти изображения следующих функций

3.4.1. .

Имеем: . По теореме о дифференцировании изображения , или .

3.4.2. . Ответ: .

3.4.3. . Ответ: .

3.5. Интегрирование оригинала.

.

Найти изображение функций.

3.5.1. .

Имеем: , откуда .

3.5.2. . Ответ: .

3.5.3. . Ответ: .

3.6. Интегрирование изображений. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции .

.

Найти изображение функции

3.6.1. .

Известно, что , поэтому

.

3.6.2. . Ответ: .

3.6.3. . Ответ: .

4. Теорема смещения. Для любого комплексного а .

4.1. Найти изображение функции .

По теореме смещения (а = -1) = .

4.2. Найти изображения функций.

4.2.1. . Ответ: .

4.2.2. . Ответ: .

4.2.3. . Ответ: .

4.2.4. . Ответ: .

4.2.5. . Ответ: .

5. Теорема запаздывания. Для любого положительного а

.

5.1. Найти изображение функции.

5.1.1. .

Для функции имеем . По теореме запаздывания

.

Здесь существенно важным является то, что ищется изображение функции , т.е. функции равной нулю при . Если бы искалось изображение для , то для нее имели бы: = и по свойству линейности .

5.1.2. . Ответ: .

5.1.3. . Ответ: .

5.1.4. . Ответ: .

5.2. Найти изображение функций, заданных графически.

5.2.1.

Выразим функцию аналитически: . Пользуясь свойством линейности и теоремой запаздывания

.

5.2.2. Ответ: .

5.2.3. Ответ: .

5.2.4.

Ответ: .

5.2.5. Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 7

СВЕРТКА, ТЕОРЕМА О СВЕРТКЕ

1. Произведение двух изображений также является изображением. Для произведения справедлива зависимость:

.

Левая часть выражения, называется сверткой функций и обозначается .

2. Найти свертки функций прямым вычислением интегралов (рис. 7.1):

2.1. * .

* = .

Рис. 7.1.

Очевидно, что подынтегральное выражение равно:

=

2.2. * .

2.3. * .

2.4. * .

2.5. * .

3. Найти свертку функций с использованием теоремы о свертке.

3.1. .

Функция есть свертка двух функций: и . По теореме умножения

= ,

откуда B = -1, А = 1, C = -1.

. .

3.2. *

3.3. * .

3.4. * .

3.5. .

4. Общая схема решения линейных дифференциальных уравнений.

Общая схема решения линейных дифференциальных уравнений приведена на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Общая схема решения дифференциальных уравнений

На рис. 7.2: L - прямое преобразование Лапласа и переход к операторному уравнению; А - решение операторного уравнения; L^-1 - обратное преобразование Лапласа.

5. Общий случай решения однородного дифференциального уравнения.

Рассмотрим некоторый объект, описываемый однородным дифференциальным уравнением n-го порядка вида

, (1)

где у – некоторая физическая величина, характеризующая состояние объекта; с₀ – с_n-1 – параметры объекта.

Пусть известно, что в начальный момент времени t = +0 физическая величина и ее производные принимают значения

.

Левая часть уравнения может быть преобразована по Лапласу. Результат преобразования имеет вид:

Решая полученное уравнение относительно Y(s), получим

=

. (2)

где ; .

Для характеристического многочлена дол­ж­ны быть найдены корни путем решения алгебраического уравнения вида

,

и он должен быть представлен в виде

.

Далее, каждое из слагаемых вида правой части (2), в свою очередь, может быть представлено как сумма дробей вида .

Вследствие того, что для преобразований Лапласа применим принцип суперпозиции, можно утверждать, что реше­ние дифференциального уравнения складывается из суммы составляющих: реакции системы на собственные начальные условия, причем указанная реакция складывается из достаточно простых по виду типовых характеристик, представляющих собой обратное преобразование Лапласа .

6. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с помощью преобразования Лапласа.

6.1. Общий случай.

В пространстве оригиналов дифференциальное уравнение первого по­рядка имеет вид . В пространстве изображений оно приобретает вид , откуда

,

Общая зависимость, характеризующая реакцию системы, имеет вид .

6.2. Найти решение дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.

6.2.1. . .

6.2.2. . .

6.2.3. . .

6.2.4. . .

6.2.5. . .

7. Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью преобразования Лапласа.

7.1. Общий случай.

В пространстве оригиналов однородное дифференциальное уравнение второго по­рядка имеет вид . В пространстве изображений оно приобретает вид , откуда .

Многочлен p(s) раскладывается следующим образом

, (3)

где s₁ и s₂ – корни характеристического уравнения .

Дальнейшее будет зависеть от корней s₁ и s₂.

Пусть s₁  s₂. В этом случае правая часть (3) раскрывается через сумму правильных дробей вида :

.

Определим дискриминант уравнения как .

Если D > 0, то – вещественное число, обратное преобразование Лапласа для выражения есть экспонента вида , а результат интегрирования исходного уравнения представляет собой сумму экспонент и реакций апериодических звеньев на воздействие f.

Если D > 0, то – мнимое число, корни уравнения являются комплексно-сопряженными и результат обратного преобразования выражения представляет собой синусоиду. Если обозначить , то результат интегрирования указанного выражения будет . Таким образом, в этом случае собственным движением системы будет синусоида, которая в зависимости от коэффициента с₂ возрастает, или убывает.

Пусть s₁ = s₂. В этом случае . Результат обратного преобразования будет .

7.2. Найти решение дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.

7.2.1. . ,

7.2.2. . .

7.2.3. . .

7.2.4. . .

7.2.5. . .

7.2.6. . .

7.2.7. . .

7.2.8. . .

7.2.9. . .

ЗАНЯТИЕ 8

РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА

1. Общий случай решения неоднородного дифференциального уравнения.

Рассмотрим некоторый объект, описываемый неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка вида

, (1)

где у – некоторая физическая величина, характеризующая состояние объекта; с₀ – с_n-1 – параметры объекта; f(t) – внешнее воздействие.

Пусть известно, что в начальный момент времени t = +0 физическая величина и ее производные принимают значения

.

Левая и правая части по отдельности могут быть преобразованы по Лапласу. Результат преобразования имеет вид:

Решая полученное уравнение относительно Y(s), получим

Вследствие того, что для преобразований Лапласа применим принцип суперпозиции, можно утверждать, что реше­ние дифференциального уравнения складывается из двух составляющих: реакции системы на внешнее воздействие и реакции на собственные начальные условия, причем последняя реакция складывается из достаточно простых по виду типовых характеристик, представляющих собой обратное преобразование Лапласа .

2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с помощью преобразования Лапласа.

2.1. Общий случай.

В пространстве оригиналов дифференциальное уравнение первого по­рядка имеет вид . В пространстве изображений оно приобретает вид , откуда

.

В соответствии со свойствами преобразования Лапласа, реакция системы на возмущающее воздействие равно сумме реакций на воздействие и начальные условия. Реакция системы на начальное условие является типовой и представляет собой экспоненту вида . Реакция системы на внешнее возмущение представляет собой свертку сигнала с сигналом f. Общая зависимость, характеризующая реакцию системы, имеет вид .

В ряде случаев, при простейших воздействиях, целесообразнее искать не свертку сигнала с воздействием f(t), а оригинал для изображения . Например, если на систему воздействует функция 1(t), которая имеет изображение 1/s, то изображению соответствует оригинал , а если на систему воздействует синусоидальное колебание с изображением , то оригиналом для функции будет являться .

2.2. Найти решение дифференциальных уравнений при заданных воздействиях и начальных условиях.

2.2.1. . .

2.2.2. . .

2.2.3. . . имеет вид, приведенный на рис. 8.1.

Рис. 8. 1

3. Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью преобразования Лапласа.

3.1. Общий случай.

В пространстве оригиналов дифференциальное уравнение второго по­ряд­ка имеет вид . В пространстве изображений оно приобретает вид , откуда

.

Решение, как и в предыдущем случае, складывается из двух составляющих: реакции системы на внешнее воздействие и реакции на собственные начальные условия, причем последняя реакция складывается из достаточно простых по виду типовых характеристик, представляющих собой обратное преобразование Лапласа .

3.2. Решить дифференциальное уравнение

3.2.1. при , .

Найдем преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения

; ;

;

,

откуда

; .

Находим оригинал для . Оригинал для представляет собой синусоиду: ; оригинал для может быть найден, если известен, оригинал фун­кции , т.к. = . Воспользуемся теоремой о дифференцировании изоб­ражений: . Отсюда

.

3.2.2. при , , если имеет вид, приведенный на рис. 8.1.

Очевидно, что , где - единичная функция Хевисайда. Применяя формулу , получим

.

Воспользуемся промежуточным результатом примера 3.1, с начальными условиями получим . Представим . Тогда ;

; .

Следовательно,

.

3.2.3. . ,

3.2.4. . .

3.2.5. . .

3.2.6. . .

3.2.7. . .

3.2.8. . .

4. Последовательность называется решет­чатой функцией. Функция называется порождающей функцией последовательности . Таким образом, аргумент решетчатой функции принимает только целые значения, причем для = 0.

Дискретным преобразованием Лапласа решетчатой функции называ­ется функция , где s - комплексный аргумент, .

называется оригиналом, а - изображением функции.

= ; = .

Значение , для которого ряд сходится, называется абсциссой сходимости. Функция есть периодическая функция с периодом и аналитическая в полуплоскости .

Если решетчатая функция удовлетворяет условию , то абсцисса сходимости , и следовательно изображение такой функции существует. Вообще, всякая функция , являющаяся оригиналом для обычного преобразования Лапласа, порождает решетчатую функцию , для которой определено дискретное преобразование Лапласа.

5. Найти изображение функции.

5.1. .

Очевидно, что функция удовлетворяет условию с произвольным М и . Значит, ее изображение существует.

.

5.2. Ответ: .

5.3. . Ответ: .

5.4. . Ответ: .

6. Свойства дискретного преобразования Лапласа.

6.1. Свойство линейности.

6.1.1. Для любых комплексных постоянных

.

6.1.2. Найти изображение функции.

6.1.2.1. .

По формуле Эйлера .

.

6.1.2.2. . Ответ: .

6.1.2.3. . Ответ: .

6.1.2.4. . Ответ: .

6.1.2.5. . Ответ: .

6.2. Теоремы опережения и запаздывания.

6.2.1. Если k - целое положительное число, то

.

В частности, если , то

.

6.2.2. Найти изображение функции.

6.2.2.1. ( ).

Имеем: . По теореме запаздывания имеем:

.

6.2.2.2. . Ответ: .

6.2.2.3. . Ответ: .

6.3. Теорема смещения.

6.3.1. Для любого комплексного а .

6.3.2. Найти изображение функций.

6.3.2.1. .

. По теореме смещения получаем :

.

6.3.2.2. . Ответ: .

6.4. Дифференцирование изображений.

6.4.1. Дифференцирование изображений сводится к умножению оригинала на :

.

6.4.2. Найти изображение функций.

6.4.2.1. . .

По теореме о дифференцировании изображений получим:

.

6.4.2.2. . Ответ: .

6.5. Интегрирование изображений.

6.5.1. Пусть решетчатая функция удовлетворяет условиям:

, .

Тогда , т.е. деление оригинала на n соответствует интегрированию изображения в пределах от s до .

6.5.2. Найти изображение функции.

6.5.2.1. .

Пусть . Проверяем выполнение условий , . ; . Находим изображение функции .

Интегрируем полученное выражение.

.

6.5.2.2. . Ответ: .

6.5.2.3. . Ответ: .

6.6. Дифференцирование по параметру.

6.6.1. Если , то .

6.6.2. Найти изображение.

6.6.2.1. .

. Примем а в качестве параметра. На основании теоремы о дифференцировании по параметру .

6.6.2.2. . Ответ: .

6.7. Интегрирование по параметру.

6.6.1. Если , то .

6.6.2. Найти изображение.

6.6.2.1. .

.

. .

6.6.2.2. . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 9

ИЗОБРАЖЕНИЕ РАЗНОСТЕЙ, СУММ,

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Умножение изображений.

1.1. .

1.2. Найти оригинал, соответствующий изображению.

1.2.1. .

Изображение можно представить в виде суммы двух изображений:

и .

По теореме умножения:

.

1.2.2. . Ответ: .

1.2.3. . Ответ: .

1.2.4. . Ответ: .

2. Изображение разностей.

2.1. Разностью первого порядка решетчатой функции называется величина .

Разностью -го порядка называется выражение вида:

,

где - биномиальные коэффициенты.

2.2. Найти разности для функций.

2.2.1. .

; ; остальные разности равны нулю.

2.2.2. .

2.2.3. . Ответ: .

2.3. Изображением разностей называется выражение

.

В общем случае

,

или

.

2.4. Найти изображение функции.

2.4.1. .

. . .

. Полагая будем иметь:

.

2.4.2. . Ответ: .

2.4.3. . Ответ: .

3. Изображение суммы.

3.1. .

3.2. Найти сумму.

3.2.1. .

, поэтому

=

.

3.2.2. . Ответ: .

3.2.3. . Ответ: .

4. Формула обращения.

4.1. , где с - любое число, большее, чем абсцисса сходимости. Если представляет собой правильную рациональную дробь от­носительно , то Res , где сумма берется по всем полю­сам функции , расположенным в полосе . Если - простой полюс, то Res . Если - полюс порядка k, то

Res .

4.2. С помощью формулы обращения найти оригинал для функции.

4.2.1. .

Функция имеет два простых полюса в точках основной полосы .

Res .

Res .

Следовательно, .

5. Решение линейных разностных уравнений с помощью дискретных преобразований Лапласа.

5.1. Линейное разностное уравнение порядка k с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Если , то линейное разностное уравнений однородно.

Заменяя в формуле разности на значения функции в точках, получим другую форму разностного уравнения:

.

Начальные условия для разностного уравнения k-го порядка задаются в виде значений решетчатой функции и ее разностей до (k - 1)-го порядка включительно, при , или в виде значений решетчатой функции в точках .

Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами проводится по той же самой схеме, что и решение обычных линейных дифференциальных уравнений. Применяя дискретной преобразования Лапласа и используя свойства линейности, опережения или изображения разности мы приходим к алгебраическому уравнению относительно изображения искомой функции . Разрешая алгебраическое уравнение относительно , получаем операторное решение разностного уравнения, оригинал для которого будет искомым решением разностного уравнения.

5.2. Найти решение уравнения.

5.2.1. .

По теореме опережения . Применяя к обеим частям дискретное преобразование Лапласа, получим

,

откуда

.

Функция имеет два простых полюса .

Res .

Res .

Следовательно, .

5.2.2. . Ответ: .

5.2.3. . Ответ: .