Элементарные функции комплексного переменного
1. Найти значения выражений степенной функции.
(4 - 7i)2: ответ 524 + 7i;
:
ответ
;
:
ответ
.
2. Найти значения выражений для показательных функций
:
ответ
;
:
ответ
;
:
ответ
;
:
ответ
.
3. Доказать выражение
4. Доказать, что
,
где
- комплексное число.
Найдем U
и V
для комплексной функции
.
=
Воспользуемся правилом дифференцирования:
.
;
.
.
5. Пусть некоторая
область определена как
,
где
.
Как будет отображаться эта область на
плоскость (
,
)?
Отображение области на плоскости z приведено на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Отображение области на плоскости z
Так как
,
,
.
Вид области приведен на рис.3.2.
Рис. 3.2. Отображение области на плоскости W
6. Пусть некоторая
область определена как
,
где
.
Как будет отображаться эта область на
плоскость (
,
)?
Отображение области на плоскости z приведено на рис. 3.1.
Рис. 3.3. Отображение области на плоскости z
Так как
,
,
.
Вид области приведен на рис.3.2.
Рис. 3.2. Отображение области на плоскости W
7.
Найти
.
=
.
=
,
.
;
;
=
=
=
.
8. Найти
.
.
9. Найти действительную
и мнимую части
.
Известно, что
.
Считая
= t
= r
+ is,
определим
.
10. Пусть заданы:
функция комплексного переменного
,
где
и
-
действительные функции действительного
аргумента;
кривая С в параметрической
форме
,
где
и
-
действительные функции действительного
аргумента;
точки А и В на
кривой С с координатами
,
.
Найти
=
.
В соответствии с результатом теоремы 2 имеем
.
.
Примем, что
,
где
- некоторое значение между значениями
параметра
и
.
Так как точку
можно выбрать на кривой С произвольно,
выберем ее так, чтобы ее координаты
соответствовали значению параметра
:
.
Подставляя
найденные значения в формулу для
,
получим
.
Справа стоит предел интегральной
суммы для непрерывной функции одного
переменного
на отрезке [
,
],
следовательно, этот предел равен
определенному интегралу на указанном
отрезке:
=
.
По аналогии имеем:
=
;
=
;
=
.
Складывая почленно равенства, получим
=
-
+
+i +i .
11.
Пусть
,
,
.
Найти
на интервале [(0, 0), (1, 1)].
Решение
.
=
.
.
- +
+i +i =
=
.
12.
Пусть
,
,
.
Найти
на интервале [(0, 0), (
,
-
)].
13.
Пусть
,
,
.
Найти
на интервале [(0, 0), (1, 1)].
14.
Пусть
,
,
.
Найти
на интервале [(0, 0), (1, 1)].
15.
Пусть
,
,
.
Найти
на интервале [(0, 0), (1, 1)].
ЗАНЯТИЕ 3
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. В
общем случае, если
,
где
,
- параметрическое уравнение кривой
интегрирования С, а начальная
и конечная точки соответствуют значениям
параметров
и
,
то
.
2. Если
функция аналитична в односвязной области
D, содержащей точки
и
,
то имеет место формула Ньютона-Лейбница:
,
где
- первообразная для функции
,
для которой
в области D.
3. Если
функции
и
являются аналитическими в односвязной
области D, а
и
- произвольные точки этой области, то
имеет место формула интегрирования по
частям:
.
4.
Замена переменной в интеграле от функции
комплексного переменного производится
аналогично случаю функции действительного
переменного. Пусть аналитическая функция
отображает взаимно однозначно контур
С1 в плоскости
в контур С плоскости
.
Тогда
.
5. Если путь
интегрирования - полупрямая, выходящая
из точки
,
или дуга окружности с центром в точке
,
то полезно делать замену переменной
вида:
.
Для полупрямой
,
а переменной интегрирования является
r; для дуги окружности
,
а переменной интегрирования является
.
.
6. Вычислить
интеграл
по линиям, соединяющим точки (0, 0) и (1,
1).
Очевидно,
что
не является аналитической, т.к. для нее
не выполняются условия Коши, т.е.
;
,
поэтому интеграл по контуру должен зависеть от пути интегрирования.
Пусть функция интегрируется по
кратчайшей прямой
,
.
Для этой прямой
,
,
а сама функция равна
=
=
.
Контурный интеграл от функции
=
=
=
.
Пусть функция интегрируется сначала
по прямой
от точки (0, 0) до точки (1, 0), а затем по
прямой
от точки (1, 0) до точки (1, 1). Для первой
части ломаной
,
;
функция имеет вид
.
Для второй части ломаной
,
;
функция имеет вид
.
Контурный интеграл от функции
=
=
.
Пример показывает, что интеграл от непрерывной, но не аналитичной функции зависит от пути интегрирования.
7. Вычислить интеграл
,
где С - дуга окружности, описанная
системой
.
Преобразуем
,
;
.
=
=
.
8. Вычислить интеграл, используя формулу
Ньютона-Лейбница:
.
9. Вычислить интеграл, используя формулу
Ньютона-Лейбница и правило интегрирования
по частям:
.
Функция
является аналитической всюду в комплексной
плоскости. Применяя формулу интегрирования
по частям, получим
=
.
10. Вычислить интегралы.
10.1.
,
С:
Ответ:
.
10.2.
,
С:
,
обход против часовой стрелки. Ответ: 0.
10.3.
.
С: отрезок прямой, соединяющий точки
и
.
Ответ: -(1 + ish1).
10.4.
.
Ответ:
.
10.5.
.
Ответ:
.
10.6.
.
Ответ:
.
11. Для функции
,
аналитической в односвязной области D
и непрерывной на границе с
области D для любой внутренней
точки z, принадлежащей области
D, справедлива интегральная
формула Коши:
.
12. Если задать контур с в
виде окружности радиуса r с
центром в точке z, то
и формула Коши примет вид:
.
Эта зависимость называется формулой среднего значения и показывает, что значение аналитической функции f(z) в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности.
13. Формула Коши для высших производных (2-я формула Коши)
.