36.3. Теоретические сведения

Электромагнитное поле в проводящей среде в общем случае описывается системой уравнений Максвелла в комплексной форме:

Если оси координат выбрать так, как показано на рис. 36.1, т.е. ось z со­вместить с осью провода и положительным направлением тока, то вектор на­пряженности электрического будет направлен по оси z (совпадать с током) согласно закону Ома , а вектор напряженности магнитного поля бу­дет направлен нормально к радиусу по правилу правоходового  винта.

В цилиндрической системе координат те же уравнения примут вид:

.

Совместное решение этой системы уравнений относительно комплекс­ных переменных и дает следующий результат:

где , .

Уравнение для переменной представляет собой уравнение Бесселя ну­левого порядка при n = 0 , уравнение для переменной – уравнение Бес­селя первого порядка при n = 1. Решения этих уравнений известны из матема­тики. Окончательные решения для векторов поля получают вид:

;

.

где – функции Бесселя соответст­венно нулевого и первого порядка от комплексного аргумента qr сами явля­ются ком­плексными числами.

Общий вид функции Бесселя n–го порядка выражается бесконечным ря­дом

Значения функций Бесселя приводятся в математических справочниках в виде таблиц или диаграмм.

Анализ решения для вектора напряженности электрического поля и соответственно для вектора плотности тока показывает, что перемен­ный ток по сечению цилиндрического провода распределяется неравномерно: его плотность  возрастает по направлению от центра к поверхности при­мерно по экспоненциальному закону. Эта неравномерность выражена тем больше, чем больше число k и радиус провода r₀ (рис. 36.2).

Явление возрастания плотности тока от центра к поверхности провода по­лучило название поверхностного эффекта. Поверхностный эффект возрас­тает с ростом частоты f , магнитной проницаемости  , удельной проводимости  . В технике сильных токов (на частоте 50 Гц) это явление сказывается незна­чи­тельно в медных и алюминиевых проводах, и в сильной степени – в сталь­ных (1) проводах любого сечения.

На расстоянии  = 1/k от поверхности провода плотность тока убывает в е раз, это расстояние называют глубиной проникновения поля:

 = 1/k= .

Как известно, сопротивление проводника постоянному току (омическое сопротивление) определяется по формуле:

[Ом/м].

Внутреннее комплексное сопротивление того же проводника переменному току с учетом поверхностного эффекта может быть выражено через параметры поля:

.

Практический интерес представляет отношение активного сопротивления провода к омическому R / R₀, количественно характеризующее поверхностный эффект в проводе. Расчеты показывают, что на промышленной частоте 50 Гц увеличение активного сопротивления R / R₀ незначительно для медных и алю­миниевых проводов ( = 1) и существенно для стальных проводов ( 1). С ростом частоты f вследствие усиления поверхностного эффекта происходит увеличение активного сопротивления провода (R / R₀ >1).