1. Цель работы

1. Изучение методов расчета магнитного поля цилиндрической катушки с постоянным током.

2. Исследование магнитного поля цилиндрической катушки методом ма­тематического моделирования на ЭВМ.

3. Исследование влияния геометрических размеров катушки на ее индук­тивность

2. Исходные данные

Цилиндрическая катушка длиной h, с внутренним диаметром D₁ и на­руж­ным диаметром D₂ содержит w витков, расположенных в несколько слоев. Ка­тушка расположена в однородной магнитной среде (в воздухе с  = ₀). По ка­тушке протекает постоянный ток I (рис. 34.1), который в окружающем про­странстве создает магнитное поле. Исходные данные повариантно приведены в табл. 34.1.

Т а б л и ц а 34.1

Вариант		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
h,	см	11	14	17	19	12	15	18	13	16	20
D1,	см	10	13	16	18	11	14	17	12	15	19
D2,	см	14	17	20	22	15	18	21	16	19	23
w,	вит	500	300	250	400	200	350	550	150	450	300
I,	А	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9

34.3. Теоретические сведения

Магнитное поле в пространстве создается электрическими токами. В про­извольной точке магнитное поле может быть описано уравнениями поля в диф­ференциальной или интегральной формах:

, , rot ,

,

где [А/м] – вектор напряженности магнитного поля,

[Тл] – вектор индукции магнитного поля,

[Гн/м] – магнитная проницаемость пустоты,

 – относительная магнитная проницаемость,

Ф [Вб] – магнитный поток.

В большинстве реальных случаев электрические токи, создающие маг­нитное поле, протекают по тонким каналам – электрическим проводам. Для создания сильных магнитных полей, используемых в технике, применяются системы проводов, образующие катушки индуктивности.

Расчет магнитного поля в произвольной точке пространства n , создавае­мого идеальным (бесконечно тонким) проводником с током I (рис. 34.2), может быть выполнен на основе известного из курса физики закона Био-Савара:

где – векторный элемент длины проводника;

r – расстояние от элемента dl до рассматриваемой точки n;

– единичный радиус-вектор, направленный по радиусу r.

Очевидно, что результирующий вектор напряженности магнитного поля , создаваемый длинным проводом l или системой проводов, может быть найден путем интегрирования приведенного уравнения Био-Савара по всей длине провода или системы проводов.

В настоящей работе исследуется цилиндрическая катушка длиной h, с внутренним диаметром D₁ и наружным диаметром D₂ содержащая w витков, расположенных в несколько слоев.

Принимаем допущение, что электрический ток протекает строго по оси провода, а отдельные витки имеют кольцевую форму. Такое допущение не вно­сит существенных погрешностей в результат расчета магнитного поля вне про­вода, но позволяет упростить процедуру интегрирования уравнения Био-Са­вара. Результирующий вектор напряженности магнитного поля в произ­вольной точке n может быть найден как геометрическая сумма составляющих этого вектора от всех витков w, расположенных по длине катушки от –h/2 до +h/2 и по толщине катушки от D₁ до D₂ :

.

Магнитное поле катушки будет обладать центральной и осевой симмет­рией, поэтому исследование поля проводится только в одной из четвертей плоскости сечения (в области положительных значений координат x и y).

Анализ характера изменения магнитного поля в пространстве показы­вает, что магнитное поле имеет наибольшую интенсивность внутри катушки, и что оно убывает во всех направлениях по мере удаления от витков катушки.

Магнитный поток Ф_в, пронизывающий плоскость одиночного витка ка­тушки, и соответственно потокосцепление витка находится по формуле:

Ф_в =_в =

В линейной среде ( = const) магнитный поток Ф_в пропорционален току катушки и числу витков: Ф_в = сIw. Результирующее потокосцепление катушки найдется как сумма потокосцеплений отдельных витков:

 = _в = Ф_срw = сI w²,

где Ф_ср – среднеарифметическое значение магнитного потока всех вит­ков.

Одним из важнейших параметров катушки является ее индуктивность L, определяемая как отношение ее потокосцепления  к току I:

.

Из формулы следует, что индуктивность катушки L не зависит от тока катушки, но пропорциональна квадрату числа витков. Индуктивность катушки L сложным образом зависит от ее геометрических размеров h, D₁ и D₂. Эта за­висимость может быть выяснена исходя из анализа картины магнитного поля. Характер этой зависимости является объектом исследования в настоящей лабо­раторной работе.