31.3. Теоретические сведения

Электростатическое поле в диэлектрической среде создается неподвиж­ными в пространстве и постоянными во времени электрическими зарядами. Электрические заряды могут быть расположены в отдельных точках q (Кл), по по­верхности проводящих тел с поверхностной плотностью  (Кл/м²), вдоль тон­ких про­водов с линейной плотностью  (Кл/м), и по объему с объемной плот­ностью  (Кл/м³).

Электростатическое поле в произвольной точке n можно описать уравне­ниями электростатики в дифференциальной форме:

, , , , .

Для расчета простейших симметричных полей могут быть использованы те же уравнения, но в интегральной форме:

, , ,

где – вектор электрического смещения, Кл/м;

– вектор напряженности поля, В/м;

 – потенциал, B.

В решаемой задаче электростатическое поле создается линейными заря­дами проводов ₁ и ₂ и поверхностными зарядами «земли» _з, наведенными посредством электро­статической индукции. Расчет параметров поля (, ) от действия осевых за­рядов  довольно прост, в то же время непосредственный учет поверхностных зарядов вызывает существенные осложнения.

Задача по расчету поля от системы заряженных проводов с учетом «земли» решается методом зеркальных отображений. Сущность метода состоит в том, что поверхностные заряды «земли» ₃ заменяются осевыми зарядами –₁ и –₂ , расположенными зеркально заданным зарядам ₁ и ₂ (рис. 31.2). В соот­ветствии с теорией в таком случае сохраняются неизменными граничные усло­вия (Е_t = 0,  = 0) и, следовательно, электростатическое поле в верхней части полупространства не нарушается.

В данной задаче известными являются потенциалы проводов ₁ и ₂ и их геометрическое расположение.

Заряды проводов ₁ и ₂ определяются из системы потенциальных урав­не­ний

где потенциальные коэффициенты  выражаются через геометрические размеры:

; ;

Составляющая вектора напряженности электростатического поля в про­из­вольной точке n от отдельного осевого заряда  направлена по радиусу от про­вода (  0) или к проводу (  0), ее модуль определяется по формуле:

,

а составляющая потенциала – ,

где r_k – расстояние от точки n до провода, с – постоянная интегрирования.

Результирующий вектор напряженности электростатического поля и результирующий потенциал _n в произвольной точке n могут быть найдены по принципу наложения, как соответствующие суммы составляющих от отдель­ных проводов и их зеркальных отображений. Очевидно, что составляющие век­тора необходимо складывать векторно, а составляющие потенциала _n – ска­лярно:

,

_n = _n1 + _n2 + _n1+ _n2.

При векторном суммировании отдельные слагаемые раскладываются на составляющие по координатным осям x и y , затем находятся суммы состав­ляющих по осям и , через которые выражается результирующий вектор:

, .

Векторное суммирование отдельных слагаемых можно выполнить в ком­плексной форме (оси x соответствует ось вещественных величин +1, а оси y – ось мни­мых величин +j):

= E_x + j E_y = E_n e ^j

Эквипотенциальными поверхностями называются воображаемые по­верх­ности постоянного потенциала _s = const. В плоскости сечения эквипотенци­альные поверхности образуют следы – линии.

Из уравнения = – grad  следует, что вектор напряженности электро­статического поля в любой точке расположен нормально к эквипотенциаль­ной поверхности, проведенной через эту точку, и направлен в сторону убыва­ния потенциала . Линии вектора пересекают следы эквипотенциальных по­верх­ностей под прямым углом.

Совокупность следов эквипотенциальных поверхностей и силовых ли­ний поля образует графическую диаграмму (сетку) поля, которая используется для его исследования.