27.1. Цель работы

1. Теоретическое и экспериментальное исследование влияния подмагни­чивания сердечника катушки постоянным током на параметры ее рабочей об­мотки в цепи переменного тока.

2. Изучение графического и аналитического методов расчета нелинейной цепи с управляемой нелинейной катушкой.

3. Экспериментальное исследование нелинейной цепи с управляемой не­линейной катушкой с целью уста­новления соответствия между расчетными и экспериментальными данными.

27.2. Исходные данные.

Заданы:

1. Эквивалентная схема исследуемой цепи (рис. 27.1) с последовательно включенными источником синусоидальной ЭДС e(t) = E_m·sin(t), управляемой не­линейной кат­ушкой R₀, i() и линейным резистором R .

2. Параметры линейных элементов схемы (табл. 27.1). Нелинейная ка­тушка на схеме представ­лена двумя элементами, включенными после­дова­тельно  линейным резистором R_o и идеальной нелинейной катушкой i(). Ве­бе­р-ампер­ная характеристика магнитной цепи аппроксимирована уравнением iw=a·sh(b·Ф), а вольт-амперная характеристика катушки в режиме без подмаг­ни­чивания  уравнением I=c·U+ d·U⁵. Коэффициенты уравнений аппроксима­ции заданы в табл. 27.1.

3. Рабочие схемы исследуемых цепей и схемы включения измеритель­ных приборов (рис. 27.2 и 27.3).

Т а б л и ц а 27.1

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Е, B	40	45	50	45	50	55	50	55	60	45
R, Ом	28	30	35	32	34	35	35	37	40	30
R0, Ом	3	4	5	3	4	5	3	4	5	3
Iу, A	0,43	0,51	0,38	0,52	0,42	0,55	0,47	0,36	0,44	0,52
Выводы	0-3	0-4	0-5	0-3	0-4	0-5	0-3	0-4	0-5	0-3
c	4,14	2,62	2,07	4,14	2,62	2,07	4,14	2,62	2,07	4,14
d	1,18	0,58	0,29	1,18	0,58	0,29	1,18	0,58	0,29	1,18
w, вит	210	240	270	210	240	270	210	240	270	210
wy, вит	500	500	500	500	500	500	500	500	500	500

27.3. Теоретические сведения и методические указания

Управляемая нелинейная катушка содержит на общем магнитном сер­дечнике две обмотки  рабочую обмотку w, которая включается в рабочую цепь переменного тока, и обмотку управления w_y, в которую подается от посторон­него источника постоянный ток I_у. Под воздействием постоянной намагничи­вающей силы I_уw_y процесс перемагничивания сердечника смещается в область магнитного насыщения. Это приводит к увеличению тока в рабочей обмотке, что эквивалентно уменьшению ее реактивного сопротивления. Таким образом осуществляется управление током рабочей обмотки посредством изменения тока в обмотке управления. Для устранения обратного влияния тока рабочей обмотки на цепь управления катушку конструктивно выполняют из двух одина­ковых элементов (рис. 27.1б). Обмотки управления отдельных элементов вклю­чаются по­следовательно-встречно, благодаря чему переменные ЭДС, наводи­мые в них, направлены встречно и взаимно компенсируются.

При работе управляемой нелинейной катушки в качестве отдельного элемента сложной цепи ее режим будет определяться двумя факторами: а)напряжением (током) на ее зажимах и б)током управления I_у. Из этого сле­дует, что для расчета режима в такой цепи управляемая нелинейная катушка

должна быть представлена семейством вольт-амперных характеристик I(U) для различных значений тока управления I_у=const.

Семейство вольт-амперных характеристик нелинейной катушки в ре­жиме под­магничивания постоянным током I_у получается из расчетной вольтам­перной характеристики без подмагничивания путем ее параллельного смеще­ния по оси I на расстояние I=к·I_у (рис. 27.3) , где коэффициент к зависит от соотно­шения чисел витков катушек w_y /w и от геометрических размеров магни­топровода.

Для цепи с последовательным соединением активного сопротивления (нагрузки) R и управляемой нелинейной катушки U_L=f(I,I_у) уравнение 2-го за­кона Кирхгофа имеет вид: E = U_R + U_L  в комплексной форме или  в обычной форме. Учитывая, что U_R = I·R, получим уравне­ние эллипса с полуосями E и E/R:

.

Для графического расчета режима схемы рис. 28.1 при заданной ЭДС ис­точника Е и сопротивлении нагрузки R на графическую диаграмму семейства вольтампер­ных характеристик управляемой нелинейной катушки U_L=f(I,I_у) на­но­сится эллипс с полуосями Е и Е/R, точка пересечения которого с соответст­вую­щей характеристикой определяет рабочую точку катушки (рис. 27.3). Из диа­граммы непосредственно следуют величины U_L и I, а напряжение на на­грузке можно оп­ределить по закону Ома U_R=IR.

I2

Физические процессы в нелинейной цепи переменного тока можно опи­сать системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненной нелинейными алгеб­раи­ческими уравнениями аппроксимации физических характеристик нелиней­ных элементов. Для исследуемой управляемой нелинейной катушки, состоящей из двух одинаковых элементов, система уравнений Кирхгофа для магнитной цепи имеет вид:

i·w + I_у ·w_у = a·sh(b·Ф₁);

i·w  I_у ·w_у = a·sh(b·Ф₂);

Ф₁ + Ф₂ = Ф,

где Iw = a·sh(b·Ф)  уравнение аппроксимации вебер-амперной магнитной ха­рак­теристики магнитопроводов катушки.

Система уравнений Ома и Кирхгофа для электрической цепи:

e = E_m·sin(t); 1)

u_R = i ·R; (2)

u_Rо = i·R_o; (3)

u_L = w₁ · ; (4)

e = u_R + u_Rо + u_L. (5)

Совместное решение этих систем уравнений может быть выполнено ме­то­дами чис­ленного интегрирования на ЭВМ (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Суть метода состоит в том, что период переменного тока Т разбивается на большое число шагов интегрирования, например N=1000, дифференциалы пе­ременных заме­няются конечными приращениями (dФФ, dtt), а произ­водные пере­менных  отношением приращений (dФ/dtФ/t). На каждом шаге произво­дится решение системы уравнений и определяются значения пе­ременных вели­чин (токов, напряжений) и их производных, причем в качестве исходных дан­ных принимают значения некоторых переменных на предыдущем шаге. В каче­стве таких функций принимают u_С(t), i_L(t), которые определяют за­пасы энергии в элек­трическом и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачко­образно. На каждом шаге интегрирования система нелиней­ных уравне­ний для магнитной цепи решается методом последовательных при­ближений. Непосред­ственным результатом расчета будут являться массивы значений пе­ременных величин (токов, напря­жений) и их производных в задан­ном интервале времени (например, в течение периода Т). В результате после­дующей обработки масси­вов данных могут быть определены действующие, средние, максимальные зна­чения переменных, их гармонический состав и дру­гие параметры.

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характе­ристики нелинейных элементов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в установившемся, так и в переходном режиме.

Действующие значения токов и напряжений определяются через мас­сивы значений соответствующих функций по формулам:

, .

Найденные методом численного интегрирования действующие значения токов и напряжений могут несущественно отличаться от аналогичных значе­ний, определенных методом эквивалентных синусоид.