24.3. Теоретические сведения и методические указания

Нелинейными элементами (НЭ) называются такие элементы электриче­ской цепи, для которых их физические характеристики [u(i) для резистора, (i) для катушки и q(u) для конденсатора] является нелинейными и не могут быть описаны линейными уравнениями u=iR, =Li, q=Cu. Физические характе­ри­стики нелинейных элементов [u(i), (i) и q(u)] могут быть представлены тремя способами: а) в виде графических диаграмм функций u(i), (i) и q(u) (графиче­ская форма), б) в виде таблиц координат точек функций u(i), (i) и q(u) (таб­личная форма), в) в виде нелинейных алгебраических уравнений, описы­вающих функ­ции u(i), (i) и q(u) (математическая форма).

Нелинейной называется электрическая цепь (схема), которая в своей структуре содержит нелинейные элементы. Физические процессы в нелинейной цепи переменного тока можно описать системой нелинейных дифференциаль­ных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В ма­тема­тике нет универсальных методов решения систем нелинейных дифферен­циаль­ных уравнений, поэтому не существует универсальных методов расчета нели­нейных цепей переменного тока. Выбор метода расчета конкретной нели­ней­ной цепи определяется индивидуально исходя из заданных условий. Приме­ня­ются графические, аналитические, численные и комбинированные методы рас­чета.

Наличие нелинейных элементов в цепи приводит к искажению форм кри­вых токов и напряжений на всех ее элементах. Степень искажения форм кри­вых токов и напряжений зависит от вида нелинейности физических характе­ристик u(i), (i) и q(u) нелинейных элементов и их места включения в схеме цепи. В электроэнергетических цепях эти искажения незначительны, играют второсте­пенную роль и ими можно пренебречь. Для исследования таких цепей можно применять так называемый метод эквивалентных синусоид. Сущность метода состоит в том, что несинусоидальные функции токов и напряжений за­меняются эквивалентными по действующему значению синусоидальными функциями. Соответственно производится замена физических характеристик нелинейных элементов u(i), (i) и q(u) эквивалентными расчетными вольт-амперными ха­ракте­ристи­ками U_R(I), U_L(I), U_C(I). После замены несинусоидальных функций эквива­лентными синусоидами система нелинейных дифференциальных уравне­ний превращается в соответствующую ей систему нелинейных алгебраических уравнений с комплексными коэффици­ентами, решение которой может быть вы­полнено более простыми методами, например, методом последовательных при­ближений. Достоинствами метода эквивалентных си­нусоид являются его про­стота и наглядность, а недостатками низкая точность расчета и потеря инфор­мации о фор­мах кривых токов и напряжений.

В аналитических методах расчета нелинейных цепей используется мате­ма­тическая форма задания вольт-амперных характеристик нелинейных элемен­тов. Если вольт-ам­перные характеристики элементов заданы таблично или гра­фиче­ски, то пред­варительно выполняется их аппроксимация, т. е. замена таб­личной (графической) формы математической. Коэффициенты в уравнениях аппрокси­мации определяются путем подстановки в эти уравнения координат характер­ных точек по числу коэффициентов с последующим решением полу­ченной сис­темы уравнений.

Для расчетной схемы составляется система уравнений Кирхгофа в ком­плексной форме, которая дополняется нелинейными уравнениями аппроксима­ции вольт-амперных характеристик элементов U(I) или I(U). Решение системы нелинейных алгебраических уравнений может быть вы­полнено методом после­довательных приближений (вручную или на ЭВМ).

Для исследуемой схемы система комплексных уравнений Кирхгофа, до­полненная уравнениями аппроксимации, имеет вид:

I₁  I₂  I₃ = 0; (1)

U₁ +U₂ = E; (2)

U₂ + U₃ + U₄ = 0; (3)

U₂= a·I₁ + b·I₁³; (4)

I₃ = c·U₄ + d·U₄⁵. (5)

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом по­следовательных приближений представлен ниже.

1. Задаются в первом приближении комплексным напряжением на нели­нейной катушке, например: U₄=U₄e^j0.

2. Определяется модуль тока I₃ аналитически из уравнения (5) (I₃=cU₄+dU₄⁵) или гра­фически по диаграмме функции U_L(I). Аргумент этого комлекса этого тока принимается равным 90^о (в катушке ток отстает от на­пряжения на угол =90^о). В комплекс­ной форме I₃= I₃·e ^{- j90}.

3. Определяется напряжение на резисторе по закону Ома: U₃ = I₃·R.

4. Из уравнения (3) находится напряжение на конденсаторе: U₂=U₃+U₄.

5. По закону Ома определяется ток конденсатора: I₂ = U₂/(jX_C).

6. Из уравнения (1) находится ток источника I₁= I₂ + I₃ = I₁·e^j.

7. Определяют модуль напряжения U₁ аналитически из уравнения (4) или графически по диаграмме функции U_R(I). Аргумент этого комлекса при­ни­мают равным аргументу комплекса тока I₁’ (в резисторе ток совпадает с нап­ря­же­нием). В комплексной форме U₁= U₁·e^j.

8. Из уравнения (2) находится расчетное значение ЭДС: E=U₁+U₂=E·e^j.

9. Сравнивают найденное в первом приближении значение модуля ЭДС Е с заданным значением ЭДС Е и с учетом вида полученного неравенства ЕЕ задаются новым значением напряжения U₄ во втором приближении и повто­ряют расчет по тому же алгоритму. Циклы расчета (итерации) повторяют до достижения желаемой точности. В результатах последнего цикла корректи­руют аргументы комплексных токов и напряжений путем добавления к ним значения .

При экспериментальном исследовании нелинейной цепи начальные фазы комплексных токов _i измеряются фазометром, а начальные фазы комплексных на­пряжений _u определяются исходя из фазового сдвига, зависящего от харак­тера элементов: _R =_u_i= 0  для резистора, _L =_u_i= +90^о  для катушки индуктивности и _C =_u_i= 90^о  для конденсатора.