23.3. Теоретические сведения и методические указания

Нелинейными элементами (НЭ) называются такие элементы электриче­ской цепи, для которых вольт-амперная характеристика U(I) или I(U) является не­линейной, т.е. не может быть представлена по закону Ома линейным уравне­нием U=IR. Вольт-амперная характеристика U(I) или I(U) нелинейного эле­мента может быть представлена тремя способами: а)в виде графической диа­граммы функции U(I) или I(U) (графическая форма), б)в виде таблицы коорди­нат точек функции U(I) или I(U) (табличная форма), в)в виде нелинейного ал­гебраического уравнения, описывающего функцию U(I) или I(U) (математиче­ская форма).

Нелинейной называется электрическая цепь (схема), которая в своей структуре содержит нелинейные элементы. Физические процессы в нелинейной цепи постоянного тока можно описать системой нелинейных алгебраических уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике нет универсальных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, поэтому не существует универсальных методов расчета нелиней­ных цепей постоянного тока. Выбор метода расчета конкретной нелинейной цепи определяется индивидуально исходя из заданных условий. Применяются графические, аналитические и комбинированные методы расчета.

В графических методах расчета используется графическая форма задания вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Если сложная схема со­держит только один источник ЭДС, то решение задачи может быть выполнено методом графического преобразования (свертки) схемы к выводам источника. Для этой цели в одной системе координат в одном масштабе строятся диа­граммы вольт-амперных характеристик всех элементов схемы. Затем произво­дится сложение отдельных характеристик в соответствии с упрощением (сверт­кой) схемы до получения входной вольт-амперной характеристики всей схемы.

Для исследуемой схемы графическое сложение вольт-амперных характе­ристик элементов про­изводится в следующей последовательности:

1. вольт-амперные характеристики нелинейного элемента НЭ₂ и линей­ного резистора R₃ складываются парал­лельно (по оси I) и таким образом полу­чается суммарная вольтамперная характеристика для параллель­ных ветвей U₂₃=f(I₁);

2. вольт-ам­перные характеристики нелинейного элемента НЭ₁ и парал­лельных ветвей U₂₃=f(I₁) складываются последовательно (по оси U) и таким об­разом получается входная вольт-амперная характеристика для всей схемы Е=f(I₁).

Для заданного значения Е определяется точка решения на вольт-ампер­ной характеристике Е=f(I₁). Методом графической развертки определяются значения всех токов и напряжений.

В аналитических методах расчета используется аналитическая форма за­дания вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Составляется система уравнений Кирхгофа для расчетной схемы, в которую вводятся нели­нейные уравнения вольт-амперных характеристик нелинейных элементов U(I) или I(U). Проводится анализ структуры нелинейных уравнений и выбирается ме­тод их решения. В общем случае решение системы нелинейных алгебраиче­ских уравнений может быть выполнено методом последовательных приближе­ний (вручную или на ЭВМ).

Для исследуемой схемы система уравнений Кирхгофа, дополненная урав­нениями аппроксимации, имеет вид:

I₁  I₂  I₃ = 0;

U₁ + U₂ = E;

U₂ = U₃ = U₂₃;

I₃ = U₃ / R₃;

I₁ = a·U₁²;

U₂ = b·I₂².

Один из вариантов решения данной системы уравнений Кирхгофа мето­дом по­следовательных приближений представлен ниже:

1. задаются в первом приближении напряжением ;

2. из уравнений Ома и Кирхгофа находят остальные величины в первом приближении:

3. сравнивают найденное в первом приближении значение ЭДС с за­дан­ным значением ЭДС Е и с учетом вида полученного неравенства зада­ются напряжением во втором приближении. Повторяют расчет до дос­тижения требуемой точности.