Проверка адекватности модели

Проверка гипотезы об адекватности осуществляется путем сравнения разброса опытных данных относительно уравнения регрессии с величиной случайной ошибки эксперимента. Если разброс того же порядка, что и ошибка опыта, то его можно объяснить случайными ошибками: уравнение адекватно. Если разброс значительно больше, то он, очевидно, не сводится к ошибке опыта, а связан с неадекватностью уравнения. Уравнения нужно усложнить. Так, с помощью метода наименьших квадратов на рисунке 1.4 через одни и те же точки проведены прямая и парабола. Прямая неадекватна, а парабола адекватна.

Рисунок 1.4 – Прямая и парабола, проведенные по точкам

Для количественной оценки вводится мера разброса данных дисперсия. Мерой разброса опытных данных относительно модели является остаточная дисперсия S²_ост, равная отношению минимальной суммы квадратов отклонений S к числу степеней свободы.

Числом степеней свободы называют разность между числом экспериментов и числом неизвестных параметров, оцениваемых на основании этих экспериментов. Окончательно, выражение для остаточной дисперсии

(1.15)

где f – число степеней свободы (f = n – р; п – число экспериментов; р – число оцениваемых параметров).

Для оценки величины случайной ошибки эксперимента рассчитывают дисперсию воспроизводимости S²_восп. Для этого проводят одну или несколько серий параллельных отлов; в каждой такой серии значения входных переменных от опыта к опыту не меняются. В этом случае отклонения относят к среднему значению измеряемой величины. А число степеней свободы будет на единицу меньше числа параллельных опытов m.

Формула f = m -1 объясняется в данном случае так же, как и формула для f при описании уравнениями: единица наименьшее число опытов, необходимое для того, чтобы составить представление о среднем значении определяемой величины.

Итак

(1.16)

где – среднее значение у всех результатов экспериментов

(1.17)

Для проверки адекватности рассчитывают дисперсионное отношение F

(1.18)

Если F больше некоторого критического значения, то уравнение неадекватно, если меньше, то адекватно. Критическое значение F зависит от двух чисел степеней свободы: f₁, входящего в формулу (1.15), f₂ = m – 1, входящего в формулу (1.16). Таблица критических значений F приведена в приложении

Чем меньше f₂, тем больше критическое F: чем меньше число степеней свободы при оценке дисперсии воспроизводимости, тем эта оценка менее точна и тем менее определенно приходится оценивать адекватность: не исключено, что даже очень большой разброс объясняется ошибкой опыта. Во всяком случае для оценки S²_восп целесообразно провести не менее трех опытов (f₂ ≥ 2).

Пример: Проверка адекватности уравнения.

Изучена зависимость у от х. Приведем опытные данные:

х	-2	-1	0	1	2
у	0,0	0,0	1,0	2,0	3,0

Для оценки воспроизводимости проведены 4 опыта при х = 0: (у =1,0)

х	0	0	0	0
у	0,8	0,9	1,0	1,3

Адекватно ли линейное уравнение?

Параметры его найдем из опытных данных методом наименьших квадратов. Получим:

у = 1,2 – 0,8·х

Отклонения опытных данных от расчетных составят:

-0,4

0,4

0,2

0,0

-0,2

В соответствии с формулой (15), S²_ост = 0,133. Из параллельных опытов при х = 0 но формуле (16) находим S²_восп = 0,0834. Отсюда

Числа степеней свободы: f₁ = 5 – 2 = 3; f₂= 4 – 1 = 3. По таблице F_КР = 9,3: F < F_KP (при α = 0,05).

Уравнение адекватно.

Пример: Проверка адекватности при большей точности опытов.

Адекватно ли линейное уравнение, полученное в предыдущем примере, если при оценке воспроизводимости получены такие результаты:

х	0	0	0	0
у	0,95	0,9	1,05	1,1

( = 1,0)

Уравнение регрессии не изменяется, S²_ост = 0,133, но точность опытов иная: S²_восп = 0,00834.

F = 15,9 > F_KP.

При такой точности эксперимента то же уравнение неадекватно. Проверим более сложное уравнение (2-го порядка). Но тем же данным метод наименьших квадратов даст:

у = 0,9143 – 0,8·х – 0,1429·х²

Для этого уравнения отклонения опытных данных от расчетных равны:

-0,11

0,26

-0,09

-0,14

0,09

Откуда S²_ост = 0,0576

.

Числа степеней свободы: f₁ = 5 – 3 = 2; f₂ = 4 – 1 = 3. По таблице F_KP = 9,3. Таким образом, F < F_KP.

Уравнение адекватно.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости качество аппроксимации можно оценить, сравнив остаточную дисперсию S²_ост и дисперсию относительно среднего S²_у

, (1.19)

по критерию F

. (1.20)

Если F больше критического значения, то уравнение неадекватно, если меньше, то адекватно.

Если модель оказалась неадекватной, то нужно либо изменить ее структуру, либо увеличить число проводимых экспериментов.

Цель работы: построение математической модели различных производственных процессов.

Методика выполнения работы

1. Получить выборку экспериментальных данных.

2. Определить эмпирически структуру уравнения регрессии.

3. Найти параметры модели принятой структуры.

4. Составить программу расчета параметров уравнения регрессии.

5. Проверить и добиться адекватности модели.

Форма отчета по лабораторной работе №1

1. Название лабораторной работы.

2. Цель работы.

3. Алгоритм построения модели со всеми необходимыми уравнениями.

4. Алгоритм и программа решения модели на ЭВМ, выполненная с помощью соответствующих прикладных программ.

5. Результаты моделирования в виде графических зависимостей и таблиц.

6. Выводы по проделанной работе.

Лабораторная работа №2. Решение дифференциальных уравнений.

Методические указания

Работа выполняется на основе задания к курсовой работе по дисциплине «Системы управления химико-технологическими процессами». И используется при построении переходных характеристик объекта управления и АСР.

По заданию на работу известны звенья, входящие в состав автоматической системы регулирования. На основе исходных данных записываются дифференциальные уравнения для каждого звена, объекта регулирования и системы в целом. Рассмотрим построение переходных характеристик на примере.