Тема 11: Анализ и оценка качества продукции предприятия выборочным методом.

Выборочный метод относится к несплошным видам статистического наблюдения, при котором закономерности и характеристики изучаемой статистической совокупности, называемой генеральной совокупностью, исследуются по определенной ее части – по выборочной совокупности (или выборке), с последующим распространением характеристик выборки на генеральную совокупность с помощью специальных формул перевода. При оценке качества продукции используются методы повторной выборки и бесповторной выборки. При повторной выборке каждая единица выборки (изделие) после ее случайного отбора и измерения возвращается в генеральную совокупность. При бесповторной выборке каждая единица выборки после измерения не возвращается в генеральную совокупность.

Задача 11.1. (13) Дано: При контроле качества продукции предприятия проведено 5%-ое выборочное обследование партии изделий N_u=2000 шт. (генеральной совокупности). Методом свободного случайного отбора и обследования выборочной совокупности (выборки размером - n_в = 100 шт. - 5% от 2000 шт.) определено, что средний вес изделий в выборке - х_{ср в} = 500 г, а среднее квадратическое отклонение - s_х = 15 г. При обследовании выявлено, что 90 штук изделий (m) соответствовали требованиям стандарта.

(К_в = N_сп +10; К_в прибавить к n_в и х_{ср в} )

Необходимо: На основе полученных данных выборки с вероятностью Р = 0,683 (нормированное отклонение t = 1) определить возможные значения доли стандартных изделий Р_г (генеральной доли) и среднего веса изделий Х_г (генеральной средней) всей партии изделий.

Решение: Расчетные формулы: Р_г = ω ± tµ_ω ; Х _{ср г} = х_{ср в} ± tµ_х , г ;

Доля стандартных изделий в выборке: ω = m_в/n_в = 90/100 = 0,9 (90%).

Повторная выборка. Ошибка выборки:

1) по доле стандартных изделий µ _ω = √ ω _* (1 - ω)/n_в = √ 0,9 _* (1-0,9) / 100 = 0,03;

2) по весу изделий: µ_x = √s_х²/n_в = √15 / 100 = 1,5г.

При бесповторной выборке: µ_x = √s_х²/n_в*(1 - n_в/N_г); µ_ω = √ [ω _* (1 - ω)/n_в ] _* (1-n_в/N_г).

Генеральная доля: Р_г = ω ± tµ_ω = 0,9 ± 1 _* 0,03; 0,87 (87%) > Р_г < 0,93 (93%).

Генеральная средняя: Х _{ср г} = х_{ср в} ± tµ_х; = 500 + 1 _* 1,5; 498,5 > Х _{ср г} < 501,5 г.

Заключение: При переносе закономерностей выборки на генеральные совокупности можно сделать следующие выводы: с вероятностью Р = 0,683 (при t =1) можно утверждать, что в генеральной совокупности доля стандартных изделий колеблется в пределах однократной ошибки выборки 1*µ_ω и 1*tµ_х;: по доле от 0.87 до 0.93, т.е. 87-93% изделий обладают стандартными свойствами, при этом средний вес изделий в генеральной совокупности колеблется от 498,5 до 501,5 гр.

Задача 11.2. (14) Расчет оптимального размера выборки

Дано: по условию задачи 11.1.

Определить: Оптимальный размер выборки n_{в опт} из N_u=2000 шт. изделий (условие задачи 2), чтобы с вероятностью Р = 0,997 (t = 3) предельная ошибка выборки (Δ _х =± tµ_х;) не превышала 3% веса изделия - х = 500 г, при s_х = 15,4 г.

Решение. Предельная ошибка по весу: Δ _х = х _* 3% / 100% = 500 _* 3 / 100 = + 15 г.

Оптимальный размер выборки определим по средней ошибке выборки:

Δ _х = ± t µ_х; = ± t √s_х²/n_в ; Δ² _х =t² _* s_х²/n_в , откуда n_в = t² _* s_х²/ Δ² _х = 3² _* 15,4² / 15² = 9,5 шт., принимаем - n_в = 10 шт.