5.3. Модель процесса переноса тепла через плоскую стенку.

Рассмотрим очень важный с практической точки зрения частный случай, а именно задачу переноса теплоты через плоскую стенку. Эта задача характерна в инженерной практике, в частности при решении задач тепловой изоляции аппаратов и трубопроводов, получения моделей теплообменников и многих других.

Рис 25.

На рисунке 25 изображена тонкая стенка толщиной , имеющая идеальную тепловую изоляцию с окружающей средой. Температура на концах стенки равна и постоянна. Необходимо определить модель, изменение температуры по длине стенки и количество теплоты передаваемое через стенку.

Модель получим при следующих условиях. Тело однородно по составу, нет внешних и внутренних источников тепла, основным механизмом распространения тепла является теплопередача. Поток теплоты направлен перпендикулярно, а процесс распространения тепла стационарный. При таких условиях модель рассматриваемого процесса исходя из общего уравнения теплопроводности (5-14), будет иметь следующий вид.

; (5-15)

Где x – координата в направлении теплового потока.

Интегрируя уравнение дважды, получим

( 5-16)

(5-17)

где С₁,С₂- постоянные интегрирования.

Для их определения воспользуемся граничными условиями.

Из уравнения (5-17), при

; (5-18)

а при

(5-19)

;

Подставив С₁ и С₂ в уравнение (5-17), получим уравнение изменения температуры по длине стенки.

; (5-20)

Из последнего уравнения температура по длине стенки меняется линейно.

Определим количество тепла проходящего через стенку. По закону Фурье, поток теплоты через единицу площади равен (смотри 5-1):

Так как =С₁ (см 5-16), то с учетом (5-19)

(5-21)

Где и определяет термическую проводимость стенки.

5.4. Модели тепловых процессов в теплообменниках типа «труба в трубе».

На рис. 25 изображен теплообменник «Труба в трубе». В полости теплообменника поступают теплоносители с различной температурой и расходами. Внутри теплообменника, через поверхность происходит теплообмен. На выходе теплоносители имеют другую температуру. Требуется получить математическую модель рассматриваемого теплообменника.

Рис 26.

При получении модель введем следующие обозначения.

t - время, х - продольная координата,

T_1вх(t); T_2вх(t) - температура теплоносителей на входе в теплообменник,

T_1вых(t); T_2вых(t) - температура теплоносителей на выходе из теплообменника,

T₁(X,t); T₂(X,t) - мгновенные профили температур,

G₁(t); G₂(t) - массовые расходы теплоносителей,

l - длина теплообменника.

Будем принимать, что 1- индекс более нагретого теплоносителя, а 2- индекс менее нагретого теплоносителя.

Температуры теплоносителей на входе и на выходе из теплообменника связаны с профилем температур следующими соотношениями.

T_1вх(t)= T₁(x=0,t); T_2вх(t)= T_2вх(x=0,t);

T_1вых(t)= T₁(x=l,t); T_2вых(t)= T₂(x=l,t); (5-22)

Математическую модель динамики теплообменника будем строить в рамках следующих допущений:

1. Среды в трубах теплообменника движутся в режиме идеального вытеснения.

2. Поперечное перемешивание идеальное.

3. Теплоемкость стенок мала по сравнению с теплоемкостью теплоносителей.

4. При изменении температур движущихся сред тепловой поток через стенку устанавливается мгновенно.

5. Теплообменник имеет идеальную изоляцию от внешней среды.

6. Среды находящиеся в теплообменнике – несжимаемы.

Это принятые нами допущения. В реальности это не совсем так и насколько модель близка к реальности будет определяется ошибкой моделирования.

Перейдем к получению модели теплообменника, как объекта с распределенными параметрами. Выделим в теплообменнике постоянный элементарный объем Х и рассмотрим для все тепловые потоки. Будем рассматривать тепловые потоки только для теплоносителя 1.

Рис. 27

Рассмотрим количество теплоты поступающего и выходящего из выделенного объема для теплоносителя 1. Уравнение теплового баланса в этом случае запишется в виде следующей алгебраической суммы.

= (5-23)

Где - количество теплоты, поступающее в выделенный элементарный объем Х за время t, с первым теплоносителем.

- количество теплоты, выходящее из выделенного объема Х за время t с первым теплоносителем.

- количество теплоты, которое переходит за время t в выделенном объеме Х от первого теплоносителя ко второму через поверхность теплообменника. Нами ранее принято, что первый теплоноситель имеет большую температуру.

- количество теплоты, которое переходит в окружающую (внешнюю) среду. = 0, так как нами принято, что теплоизоляция теплообменника идеальная.

 – изменение теплосодержания в выделенном объеме Х за время t.

Определим значение количества теплоты через технологические и конструктивные параметры теплообменника.

Количество теплоты, которое поступает за промежутки времени t в выделенный элемент Х с первым носителем

= G₁C₁T₁(x,t) t, (5-24)

где С – удельная теплоемкость, первого теплоносителя.

Количество теплоты, которое выходит за время t из элементарного объема Х с первым теплоносителем

= -G₁C₁T₁(x+x,t) t, (5-25)

знак «-» означает, что теплота отводится, то есть выходит меньшее количество.

Количество теплоты, которое переходит от первого теплоносителя ко второму за счет теплопередачи через поверхность теплообмена (см. )

. (5-26)

Где q = - тепловой поток через стену.

- коэффициент теплопроводности (теплопередачи) стенки,

- площадь поверхности, через которую в выделенном элементе происходит передача теплоты.

Знак «-» так как поток направлен в сторону уменьшения тепла.

Так как толщина стенок труб теплообменника обычно мала по сравнению с диаметром, то выражение для площади можно записать в следующем виде

= ПХ. (5-27)

Где П – периметр трубы теплообменника.

Тогда значение определиться следующим образом.

= . (5-28)

Вместе с тем, за период времени в выделенном объеме произошло изменение теплосодержания теплоносителя, которое запишется следующим образом

, (5-29)

где - площадь поперечного сечения полости, в которой находится первый теплоноситель.

Подставив полученные выражения в уравнение теплового баланса (5-23) получим

[ )] = = G₁C₁T₁(x,t) t, - =

= G₁C₁T₁(x+x,t) t, - . (5-30)

Разделив это уравнение на и перейдя к пределу при 0 , получим

. (5-31)

Правая часть уравнения представляет алгебраическую сумму тепловых потоков, поступающих в элемент или вышедших из него за время , а левая - скорость изменения теплосодержания первого теплоносителя.

Разделив уравнение (5-31) на и перейдя к пределу при 0, получим уравнение для профиля температуры первого теплоносителя

. (5-32)

На практике, наиболее часто встречается случай теплообмена , при котором ни плотность, ни теплоемкость теплоносителя не зависят от температуры, то есть постоянны. В таком случае последнее уравнение можно переписать в следующем виде, опуская аргументы функций:

; (5-33)

Разделив это уравнение на и обозначив через среднюю скорость жидкости, получим

. (5-34)

Аналогично, получим уравнение и для второго теплоносителя

; (5-35)

Обозначив через : i = 1.2; получим модель прямоточного теплообменника в следующем виде

;

(5-36)

T (x,t = 0) = T (X)

T (X=0,t) = T (t)

i = 1.2 i

Где , , - известные функции.

Получение модели противоточного теплообменника аналогичен и ее отличие будет лишь в знаках для скорости жидкостей в уравнениях (5-36) и начальных и граничных условиях.

Результатом решения уравнений (5-36) является определение температурных профилей в теплообменнике и их изменения при изменении технологических параметров работы теплообменника.

Уравнения (5-36) были получены при условии, что накопление тепла в стенках теплообменника мало, по сравнению с количеством теплоты в теплообменниках. В реальных условиях такое допущение справедливо, если теплоемкость стенок мала по сравнению с теплоемкостью теплоносителя и если достаточно велика интенсивность теплообменника.

Первое условие, как правило, всегда выполняется, так как мала теплоемкость материала, из которого изготавливаются трубы, и мала их толщина по сравнению с диаметром.

Второе условие, высокая интенсивность теплообмена, выполняется не всегда. Например, в тех случаях, когда хотя бы один из теплоносителей газ, значение коэффициента теплопередачи оказывается небольшим, и накопление теплоты в системах аппарата значительно влияет на динамику теплопередачи.

Получим модель теплообменника для случая, когда накоплением теплоты в стенках аппарата пренебречь нельзя. В таком случае воспользуемся уравнением теплоотдачи (5-26) теплового потока между первым теплоносителем и стенкой, а также стенкой и вторым теплоносителем будет иметь следующий вид. Напоминаем, нами принято условие, что первый теплоноситель имеет более высокую температуру, чем второй (см рис 28).

то есть: ,

, (5-37)

где - плотность теплового потока от 1-го теплоносителя к стенке;

- плотность теплового потока от стенки ко 2-му теплоносителю;

- коэффициенты теплопередачи

Рис 28

Уравнение для профилей температур получим аналогично рассмотренным ранее и они будут иметь следующий вид

,

, (5-38)

где , i = 1.2.

Однако система уравнений (5-38) не замкнута, ее необходимо дополнить уравнением для . Для получения этого уравнения поступим аналогично, как и для получения уравнений для профиля температуры. С этой целью выделим элемент (см рис 28), и для этого элемента запишем уравнение теплового баланса для стенки, аналогично рассмотренному выше (см 5-31).

(5-40)

Левая часть уравнения определяет изменение теплосодержания элемента стенки, а правая часть - сумму потоков теплоты от первого теплоносителя к стенке и от стенки ко второму теплоносителю. Сократив на и учитывая, что площадь поперечного сечения стенки и плотность материала стенки - величины постоянные, уравнение (5-39) можно переписать.

, (5-40)

Или введя обозначения ,

, уравнение будет иметь следующий вид

. (5-41)

Подставив последнее уравнение в систему (5-38), получим модель теплообменника с учетом теплопроводности стенок, которая будет иметь следующий вид:

(5-42)

i = 1.2,

= i = 1.2

= i = 1.2

Аналогично и для противоточного теплообменника. Разница будет в знаках и значениях функций в граничных условиях.

Аналогично и для случая, если второй теплообменник более теплый, чем первый, меняется знак у R.

Если один теплоноситель газ – то нет или .

Полученная система уравнений является общей моделью, которая позволяет анализировать динамические характеристики теплообменников. При изменении режимов работы теплообменника, модель, в принципе, не будет меняться, а будут меняться, например, знаки, для случая, если будем рассматривать противоточный теплообменник или, если, например, температура второго теплоносителя будет выше, чем первого. Решение модели дает возможность получить динамические характеристики, которые являются необходимым условием при проектировании систем автоматизации.