2.1 Пример выполнения расчетно-проектировочного задания № 5

Исходные данные: колонна высотой 5,4 м, поперечное сечение которой представляет собой два двутавра, закреплена, как показано на рисунке 2.1, и сжимается центрально-приложенной нагрузкой Р=520 кН. Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

Требуется:

а) подобрать размеры поперечного сечения колонны при помощи метода последовательных приближений;

б) определить величину критической силы Р_кр;

в) найти коэффициент запаса устойчивости.

Рисунок 2.1 – Схема закрепления и поперечное сечение колонны

Решение

Расчет размеров поперечного сечения ведем методом последовательных приближений из условия устойчивости (см. формулу (2.1)).

Первое приближение. Пусть φ₁ = 0,5.

Тогда расчетная площадь одного двутавра будет равна

.

По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 24:

; ; ; .

Определим геометрические характеристики всего сечения относительно главных центральных осей инерции X_с и У_c (рисунок 2.2). Площадь сечения равна

.

Рисунок 2.2 – Поперечное сечение колонны

Главные центральные моменты инерции сечения равны:

;

.

Главные центральные радиусы инерции равны:

;

.

Гибкость стержня относительно материальной оси Х_с равна:

,

где μ – коэффициент приведения длины для заданной схемы закрепления колонны (см. таблицу 2.1), μ = 0,7.

Гибкость стержня относительно свободной оси У_с равна:

.

Дальнейший расчет ведем по максимальной гибкости: .

Уточним коэффициент продольного изгиба по таблице 2.2: при , при .

Линейно интерполируя, получаем:

.

Так как , то проводим следующее приближение.

Второе приближение. Коэффициент продольного изгиба рассчитаем по формуле

.

Повторяем расчет, как в первом приближении.

.

По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 20:

; ; ; .

Геометрические характеристики сечения равны:

;

;

;

;

.

Гибкости колонны равны:

;

; .

Уточним коэффициент : при , при . Тогда

; .

Третье приближение.

;

.

По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 18:

; ; ; .

Геометрические характеристики сечения равны:

;

;

;

;

.

Гибкости колонны равны:

;

; .

Уточним коэффициент :

; .

Четвертое приближение.

;

.

По ГОСТ 8239-89 повторно выпадает двутавр № 18. Проверяем его устойчивость:

; ; ;

;

Условие устойчивости соблюдается.

Так как значение максимальной гибкости для выбранного сечения не превышает предельного значения гибкости для стали , то критическую силу определим по формуле Ясинского:

,

где a=310 МПа, b=1,14 МПа – коэффициенты формулы Ясинского для малоуглеродистой стали [1].

Коэффициент запаса устойчивости равен:

.

Вывод: для заданной колонны выбрано поперечное сечение, состоящее из двух двутавров № 18, для которого выполняется условие устойчивости с коэффициентом запаса 2.

3 Расчетно-проектировочное задание № 6. Расчет статически неопределимой балки методом сил

Статически неопределимыми (неразрезными) называются балки, лежащие более чем на двух опорах и не имеющие промежуточных шарниров, внутренние усилия в которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений статики, а необходимо составить дополнительные уравнения деформаций.

Алгоритм решения статически неопределимых систем методом сил заключается в следующем.

1 Устанавливается степень статической неопределимости системы, которая заменяется статически определимой геометрически неизменяемой (основной) системой путем удаления «лишних» связей. Геометрически неизменяемой называется система, перемещение элементов которой возможно только при их деформации. Для соблюдения условия геометрической неизменяемости система должна соединяться с «землей» при помощи трех связей, которые не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке. Степень статической неопределимости n устанавливается при помощи следующей формулы:

, (3.1)

где С_оп – число опорных связей (реакций).

2 Действие удаленных связей заменяется их неизвестными реакциями.

3 Составляются канонические уравнения метода сил из условия, что перемещения системы по направлениям отброшенных связей равны нулю. Причем количество уравнений равно количеству отброшенных «лишних» связей:

(3.2)

где Х_1, Х₂, Х_n – неизвестные реакции в удаленных связях;

– перемещение по направлению n-й отброшенной связи от действия единичной силы ;

– перемещение по направлению n-й связи от внешней нагрузки.

Коэффициенты, имеющие одинаковые индексы ( ), называются главными и всегда положительны. Коэффициенты с разными индексами ( ) называются побочными и, как и свободные члены ( ), могут принимать любое значение.

4 Для определения коэффициентов канонических уравнений в основной системе строятся единичные эпюры от действия усилий отброшенных связей и грузовая эпюра изгибающих моментов от действия заданной внешней нагрузки.

Коэффициенты канонических уравнений по этому способу могут быть найдены путем перемножения соответствующих эпюр, т. е. коэффициент есть произведение единичных эпюр и , а свободный член  эпюр и :

(3.3)

где – изгибная жесткость балки.

Результат перемножения двух эпюр по способу Верещагина равен произведению площади одной из них на ординату другой эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры. Следует отметить, что при перемножении двух эпюр, ограниченных прямыми линиями, не имеет значения, на какой из эпюр брать площадь, а на какой ординату. В случае, если одна из эпюр имеет криволинейное очертание, то площадь необходимо брать из нее.

При нахождении коэффициентов канонических уравнений эпюры должны перемножаться по участкам. Участком считается часть эпюры, где она не меняет характер своего поведения. Рассмотрим несколько вариантов перемножения эпюр. На рисунке 3.1, а показан пример перемножения двух треугольников. Перемножение в этом случае запишется в виде

. (3.4)

Перемножение двух трапеций можно выполнить, предварительно разбив их на треугольники (рисунок 3.1, б):

(3.5)

Можно использовать готовую формулу перемножения трапеций, которая имеет вид:

(3.6)

Если трапеция является перекрученной (рисунок 3.1, в), то формула приобретает вид:

(3.7)

а)

Рисунок 3.1 – Перемножение прямолинейных эпюр

Следует обратить внимание, что произведение ординат эпюр, расположенных по одну сторону от нулевой линии, берется со знаком «+», по разные стороны – со знаком «». Формула трапеции применима и тогда, когда одна или две эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с нулевой стороной. Когда одна из эпюр ограничена квадратной параболой (при действии распределенной нагрузки), то ее для перемножения с другой эпюрой рассматривают как сумму (рисунок 3.2, а) или разность (рисунок 3.2, б) трапецеидальной и параболической эпюр. Площадь параболической эпюры , а центр тяжести С расположен посередине отрезка .

Рисунок 3.2 – Перемножение криволинейных эпюр

5 Решая систему канонических уравнений, определяются неизвестные усилия X_i, действующие в опорах балки.

6 К основной системе прикладываются найденные реакции отброшенных связей и внешние нагрузки, определяются действительные опорные реакции и строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

7 Построив окончательную эпюру моментов, проводят ее деформационную проверку, суть которой заключается в равенстве нулю перемещений по направлению отброшенных связей, то есть прогибы над опорами должны отсутствовать. Для этого перемножение окончательной эпюры М на суммарную единичную по правилу Верещагина должно давать ноль. Суммарная единичная эпюра получается алгебраическим суммированием ординат всех единичных эпюр .Таким образом

. (3.8)

8 После построения эпюр поперечных сил проводится статическая проверка правильности решения системы, а именно равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций, действующих на балку.