2 Расчетно-проектировочное задание № 5. Расчет центрально-сжатого стержня на устойчивость
Проектировочный расчет центрально-сжатых стержней производится методом последовательных приближений. Для первого приближения задаётся коэффициент продольного изгиба 1 = 0,5…0,8. Затем по каждому приближению определяют площадь поперечного сечения стержня из условия устойчивости:
,
(2.1)
где Р – действующая нагрузка;
F – площадь поперечного сечения стержня.
Необходимо помнить, что геометрические характеристики выбранного профиля рассчитываются относительно главных центральных осей. Гибкость стержня также может вычисляться по двум формулам. Если главная центральная ось пересекает сечение, то она считается материальной осью, и гибкость относительно такой оси вычисляется по формуле
.
(2.2)
Если же главная центральная ось не пересекает сечение, то она принимается свободной и расчет гибкости относительно такой оси ведут по формуле:
,
(2.3)
где L – высота стержня;
iмат, iсвоб – радиусы инерции сечения относительно материальной и свободных осей соответственно;
μ – коэффициент приведения длины (продольного изгиба) стержня, зависящий от способа его закрепления (таблица 2.1).
Дальнейшее
определение действительного коэффициента
продольного изгиба
ведется при
помощи линейной интерполяции по
наибольшей из найденных гибкостей. В
таблице 2.2 приведены величины коэффициентов
продольного изгиба в зависимости от
гибкости стержня для некоторых
конструкционных материалов. Если
величины
и
не
равны (расхождение более 5 %), необходимо
выполнить следующее приближение,
коэффициент продольного изгиба для
которого будет равен
.
(2.4)
Приближения
необходимо выполнять последовательно
до тех пор, пока коэффициенты
и
не будут отличаться друг от друга менее
чем на 5 %. После этого проводят проверку
выполнения условия устойчивости (формула
(2.1)). Превышение допускаемых напряжений
также должно быть менее 5 %.
Определение критической силы также ведут по максимальному значению гибкости, вычисленной в последнем приближении, по двум зависимостям:
– если
,
то применяется формула Ясинского:
;
(2.5)
,
(2.6)
где a, b и c– коэффициенты формулы Ясинского, зависящие от материала и имеющие размерность МПа (таблица 2.3), причём формула (2.6) применяется для чугуна и коэффициент c = 0,0538 МПа;
– если
,
то применяется формула Эйлера:
.
(2.7)
Коэффициент безопасности по устойчивости определяется как
.
(2.8)
Согласно техническим условиям для сталей nуст должен находиться в пределах 1,7…3, для чугуна – в пределах 5…6,5, для дерева – 2,8…3,2.
Таблица 2.1 – Значения коэффициента приведения длины μ
Таблица 2.2 – Значения коэффициента продольного изгиба φ
Гибкость |
Сталь марок |
Чугун |
Дюралюминий |
Дерево |
|
Ст. 3 |
14Г2 |
СЧ24-44 |
|||
0 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
10 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,999 |
0,99 |
20 |
0,97 |
0,95 |
0,91 |
0,998 |
0,97 |
30 |
0,95 |
0,92 |
0,81 |
0,835 |
0,93 |
40 |
0,92 |
0,89 |
0,69 |
0,700 |
0,87 |
50 |
0,89 |
0,84 |
0,57 |
0,568 |
0,80 |
60 |
0,86 |
0,78 |
0,44 |
0,455 |
0,71 |
70 |
0,81 |
0,71 |
0,34 |
0,353 |
0,61 |
80 |
0,75 |
0,63 |
0,26 |
0,269 |
0,48 |
90 |
0,69 |
0,54 |
0,20 |
0,212 |
0,38 |
100 |
0,60 |
0,46 |
0,16 |
0,172 |
0,31 |
110 |
0,52 |
0,39 |
- |
0,142 |
0,25 |
120 |
0,45 |
0,33 |
- |
0,119 |
0,22 |
130 |
0,40 |
0,29 |
- |
0,101 |
0,18 |
140 |
0,36 |
0,25 |
- |
0,087 |
0,16 |
150 |
0,32 |
0,23 |
- |
0,076 |
0,14 |
160 |
0,29 |
0,21 |
- |
- |
0,12 |
170 |
0,26 |
0,19 |
- |
- |
0,11 |
180 |
0,23 |
0,17 |
- |
- |
0,10 |
190 |
0,21 |
0,15 |
- |
- |
0,09 |
200 |
0,19 |
0,13 |
- |
- |
0,08 |
210 |
0,17 |
0,12 |
- |
- |
- |
220 |
0,16 |
0,11 |
- |
- |
- |
Таблица 2.3 – Значения a, b, λо, λпред
Материал |
а, МПа |
b, МПа |
λо |
λпред |
Ст. 3 |
310 |
1,14 |
40-60 |
100 |
Сталь 14Г2 |
469 |
2,62 |
52 |
85 |
Сталь 30ХМА |
1000 |
5,40 |
50 |
83 |
Дюралюминий |
400 |
3,33 |
28 |
55 |
Сталь 45 |
469 |
2,62 |
30 |
53 |
Чугун |
761 |
11,77 |
- |
80 |
Дерево |
29 |
0,19 |
- |
70 |