2.2. Построение полной реакции ддс

Интеграл Дюамеля получен в предположении, что в момент времени t₀ начальные условия равны нулю (система находится в состоянии покоя). Если же начальные условия отличны от нуля, то к реакции при вынужденных колебаниях (18) необходимо прибавить реакцию при свободных колебаниях. В этом случае вектор произвольных постоянных следует представить в виде:

A(t) = А + 2U^–1 (–)^T P() d, (19)

где А – вектор констант.

При t = t₀ из (19) следует A(t₀) = А, поэтому частное решение (14) совпадает с общим интегралом (11), определяющим уравнение реакции при свободных колебаниях. Отсюда, учитывая (10) и внося выражение вектора (19) в уравнение динамической реакции (14), получаем:

Y(t) = 2Re {Ф(t–t₀)U^–1М[– Y₀ + ] + U^–1 (t–)^T P() d}. (20)

Уравнение (20) является наиболее общей матричной формой записи интеграла Дюамеля для диссипативной системы. Первый член уравнения определяет реакцию системы при свободных колебаниях, второй, – совпадающий с (18), – при вынужденных колебаниях.

Для получения вектора скоростей ДДС необходимо продифференцировать уравнение перемещений (20) по времени. Дифференцирование первого члена в (20) не составляет труда. Второй член содержит определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Введем для данного члена обозначение I(t):

I(t) = U^–1 (t–)^T P() d.

Представляя матричную функцию Ф(t–)^T в подынтегральном выражении I(t) в виде функций-сомножителей Ф(t)^TФ(–)^T и вынося Ф(t)^T за знак интеграла, будем иметь

I(t) = U^–1Ф(t)^T (–)^T P() d .

Дифференцируя это выражение как произведение матричных функций по переменной t, учитываем, что определенный интеграл есть функция своего верхнего предела, поэтому

= U^–1[S^TФ(t)^T (–)^T P()d + Ф(t)^TФ(–t)^T P(t)] =

= U^–1[S^TI(t) + P(t)].

Наконец, объединяя полученные результаты и учитывая свойство мнимости элементов матрицы U: Re[U^–1P(t)] = Re(U^–1)P(t) = 0, приходим к уравнению вектора скоростей

(t) = 2Re{SU^–1[Ф(t–t₀)^TМ(– Y₀ + ) + (t–)^T P() d]} (21)

Выражения (20), (21) в матричной форме записи представляют наиболее полную запись системы уравнений реакции упругой ДДС, позволяющих определить перемещения и скорости узлов системы от действия произвольной динамической нагрузки P(t).

3. Анализ колебаний ддс с учетом влияния неподвижной нагрузки

Общий интеграл однородного ОДУ

Y(t) = Re [(t) A], (4)

где (t)  фундаментальная матрица однородного ОДУ

(t) = e^St ; (5)

A – вектор постоянных интегрирования, зависящий от начальных условий.

Дифференцируем матричную функцию (5) и подставляем в левую часть уравнения (3) вместо соответствующих векторов

(t) = S(t), (t) = S²(t)

M S²(t) + C S(t) + K (t) = 0

[M S² + C S + K] (t) = 0

M S² + C S + K = 0

2. Анализ свободных колебаний диссипативной системы

Y(t) = 2Re {Ф(t–t₀)U^–1М[– Y₀ + ]}. (13)

Выражение вектора скоростей

(t) = 2Re {SФ(t–t₀)U^–1М[– Y₀ + ]}. (14)

Матричные уравнения (13), (14) предназначены для определения динамической реакции ДДС при свободных колебаниях с произвольным демпфированием и заданными начальными условиями.

Лекция 2

Х АРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ

М АТРИЧНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

И ЕГО АНАЛИЗ

Структура решения МКУ

Решение динамической задачи с учётом упруго-вязкого сопротивления связано с анализом матричного квадратного уравнения.

Пусть S  M_n(С) – некоторая квадратная матрица. Матрица (5):

(t) = e^St

является фундаментальной матрицей уравнения (3) тогда и только тогда, когда матрица S удовлетворяют характеристическому нелинейному уравнению, имеющему вид МКУ

MS² + CS + K = 0 (6)

где: M, C, K – матрицы масс, демпфирования и жёсткости:

M = M^T, C = C^T, K = K^T  M_n(R); (7)

S  М_n(C) – матрица внутренних динамических параметров ДДС.

Решение МКУ (6) представляется в аналитической форме записи, имеющей вид корневой пары, структура которой определяется формулой:

S_1,2 = M^1(–C + V  U)/2. (8)

где V, U – соответственно кососимметрическая и симметрическая матрицы.

Следует отметить, что в отличие от обычного (скалярного) квадратного уравнения, которое на комплексной плоскости всегда имеет только два решения, МКУ допускает множество решений, то есть множество корневых пар вида (8):

= M^1(–C + V⁽ⁱ⁾  U⁽ⁱ⁾)/2 (i = 1, 2, … , q).

При этом, если уравнение (6) обладает конечной разрешимостью, то число корневых пар (8) будет равно

q = /2,

где – число сочетаний из 2n по n (n – порядок матрицы S).

Вопрос о конечной (или бесконечной) разрешимости МКУ (6) связан с анализом вспомогательной спектральной задачи, которая здесь не рассматривается. В дальнейшем будем полагать, что МКУ всегда имеет конечную разрешимость. Тогда для его решения достаточно получить какую-либо одну корневую пару при фиксированном индексе «i». Все остальные корневые пары уже не будут содержать новой информации с точки зрения построения общего решения дифференциального уравнения (3). Поэтому верхний индекс «i» у матриц S, V и U может быть опущен. В то же время, наличие нижнего индекса у матричных корней:

S_k, S_l (k, l = 1, 2; k  l)

всегда свидетельствует о принадлежности данных корней только общей корневой паре (8).

Формулу (8) иногда удобнее записывать с помощью одного нижнего индекса (вместо двух) у матрицы S:

S_k = M^1[–C + V – (–1)^kU]/2 (k = 1, 2) (8 а)

либо в более предпочтительном варианте, сохраняя общность выражения:

S_k = M^1(–C + V + U)/2,

S_l = M^1(–C + V – U)/2 (k, l = 1, 2; k  l). (8 б)

По аналогии с решением «как обычно» (для скалярного квадратного уравнения) матричную структуру (8) также можно представить через дискриминант:

M^–1U = , D = 4K – (C + V )M^–1(C – V ). (9)

Здесь D – матрица-дискриминант МКУ

Помимо формул (9) матрицы V и U связаны между собой соотношением

(C + V)M^1U = UM^1(C – V), (10)

представляющим собой условие симметрии матрицы (C + V)M^1U.

Зависимости (9), (10) образуют систему разрешающих уравнений относительно искомых матриц V, U, значения которых определяются с помощью построенной итерационной схемы.

Свойства матричных соотношений

Матричные корни S_k (k = 1, 2) в (8) обладают многими специальными свойствами. Эти свойства проявляются в виде связей между матричными коэффициентами M, C, K, корнями S_k, а также матрицами V и U, входящими в структуру решения (8). Ниже приведены некоторые из этих свойств, играющие ключевую роль в последующем анализе.

Важнейшим свойством матричных корней, принадлежащих общей корневой паре (8), являются соотношения

S_k^ТM + MS_l = –C, S_k^ТMS_l = K (k, l = 1, 2; k  l). (11)

Нетрудно видеть, что эти зависимости имеют сходный вид с формулами Виета для обычного квадратного уравнения. Действительно, первое соотношение в (11) в обобщенном смысле можно трактовать как сумму матричных корней, равную матрице C в линейном члене МКУ, взятой с обратным знаком. Второе соотношение также в обобщенном смысле представляет собой произведение матричных корней, равное свободному члену МКУ (матрице K).

Наряду с формулами (11) имеют место более простые матричные соотношения, устанавливающие свойства симметрии для характеристик решения в структуре корневой пары:

V = –V^T, U = U^T; (12)

US = S^ТU. (13)

Согласно (12), матрица V является кососимметрической, а U симметрической. Свойства (12) находятся в тесной взаимосвязи с соотношениями (11). Действительно, если в левые части формул (11) подставить выражения матричных корней (8 а), то первое соотношение в (11) приводит к тождеству, а второе соотношение дает две независимые формулы: одна из них связана с матрицей-дискриминантом (9), другая представляет равенство (10). Уравнение (13) выражает условие симметрии матрицы US. Это условие выполняется независимо от номера корня в (8), поэтому нижний индекс у S опущен.

Соотношения (11)–(13) по своей природе являются фундаментальными, так как они получены чисто алгебраическим путем из анализа МКУ не прибегая к использованию каких-либо физических свойств системы кроме тех, которые оговорены требованиями (7). Следовательно, формулы (11)–(13) справедливы для любой колебательной системы с проявлением таких физико-механических свойств материала как упругость, вязкость, пластичность, ползучесть и др. и выполняются тогда и только тогда, когда параметры расчетной динамической модели удовлетворяют условиям симметрии и вещественности матриц M, C, K в МКУ (6).