Лекция 4

Интеграл дюамеля для упругой диссипативной системы

1. Анализ свободных колебаний диссипативной системы

Для решения задачи свободных колебаний упругой дискретной диссипативной системы (ДДС) необходимо рассмотреть матричное однородное дифференциальное уравнение движения



M (t) + C (t) + KY(t) = 0, (1)

совместно с начальными условиями: Y(t₀) = Y₀, (t₀) = (2)

где M = diag (m₁, ... , m_n), C = С^Т = [c_ij], K = K^T = [r_ij]  М_n (R) (i, j = 1, ... , n) – вещественные симметрические матрицы масс, демпфирования и жесткости;

Y(t) = [y_i (t)], (t) = [ (t)], (t) = [ (t)]  M_n,1 (R) (i = 1, ... , n) – векторы перемещений, скоростей и ускорений узлов упругой системы.

1.1. Свойства матричных соотношений

Матричные соотношения, не зависящие от свойств материала

Для анализа однородного ОДУ (1) необходимо учитывать свойства характеристического МКУ (Л №2 – формулы (6), (8), (12), (13))



MS² + CS + K = 0 (3)

S_1,2 = M^1(–C + V  U)/2



V = –V^T, U = U^T; (4)

US = S^ТU.

Свойства (4) выполняются всегда. Они не зависят от:

• параметров расчетной динамической модели

• физико-механических свойств материала !

Матричные соотношения, зависящие от свойств материала

Рассмотрим произвольную упругую ДДС. Ее материал подчиняется закону Гука и, следовательно, матрица жесткости такой системы всегда невырожденна det K > 0 . Тогда выполняются условия невырожденности для обоих матричных корней S_k (k = 1, 2) и матрицы U:

det S  0, det U  0. (5)

Доказательство первого утверждения:

из соотношения Виета (Л №2 – формула (11))

S₁^TMS₂ = K  det (S₁^TMS₂) = det K > 0.

det (S₁^TMS₂) = det (S₁) det (M) det (S₂) = det (S₁) det (S₂) > 0

Обоснование второго свойства: det U  0

следует из соотношения U = (PP^T)^–1, полученного при условии простых элементарных делителей матрицы S.

Свойства (5) выполняются для любой упругой ДДС

с произвольными условиями демпфирования!

Для реальных условий колебаний строительных конструкций диссипация мала, тогда справедливы дополнительные свойства

V  M_n(R), U  мнимая,

S₁ = S, S₂ = , (6)

MS + S*M = –C, S*MS = K,

где S* – сопряженная матрица: S* = ^Т.

Свойства (6) справедливы для упругой ДДС при

обычных условиях колебаний с малой диссипацией !

1.2. Построение общего решения однородного оду

Для обычных условий колебаний конструкций с малой диссипацией имеют место свойства (6) комплексной сопряженности матричных корней. Тогда общий интеграл однородного дифференциального уравнения колебаний (1) можно записать с помощью символа Re:

Y(t) = Re [Ф(t) A], (7)

A – вектор постоянных интегрирования (ВПИ), зависит от начальных условий (2); Ф(t) = e^St (S – матрица внутренних характеристик системы).

Проводя в (7) дифференцирование по времени, переходим от вектора перемещений к вектору скоростей

(t) = Re [SФ(t)A]. (8)

ВПИ A, находящийся в выражениях (7), (8), является неизвестным, поэтому последующая задача заключается в его определении.

Здесь необходимо учитывать, что A – это комплексная величина и, следовательно, она состоит из двух действительных величин. В то же время, вектор A зависит от векторов начальных условий (2), поэтому его можно выразить через две векторы Y₀, .

Пусть в начальный момент времени (t = t₀) перемещения и скорости узлов ДДС определяются начальными условиями (2): Y(t₀) = Y₀, (t₀) = .

Тогда из (7), (8) получаем: Y₀ = Re [Ф(t₀)A], = Re [SФ(t₀)A].

В дальнейшем необходимо учитывать следующее свойство.

Действительная часть произведения любых двух комплексных величин В и С всегда представима в виде

Re (BС) = Re B Re С – Im B Im С. (9)

Данную формулу удобно применить для выражения вектора скоростей (8) . Так как тогда можно выполнить его разложение через вектор Y₀:

= Re [SФ(t)A] = ReS Re[Ф(t₀)A] – ImS Im[Ф(t₀)A] =

= ReSY₀ – ImSIm[Ф(t₀)A].

Представим комплексную величину Ф(t₀)A в виде

Ф(t₀)A = Re [Ф(t₀)A] + iIm [Ф(t₀)A] =

= Y₀ + iIm [Ф(t₀)A].

Мнимая часть матрицы Ф(t₀)A равна

Im [Ф(t₀)A] = i[Y₀ – Ф(t₀)A].

Тогда

= ReSY₀ – iImS [Y₀ – Ф(t₀)A] =

= (ReS – iImS )Y₀ + iImSФ(t₀)A.

С огласно структуре корня (4)

S = M^1(–C + V + U)/2 = M^1(–C + V )/2 + M^1U/2,

S = ReS + iImS  ReS = M^1(–C + V )/2, iImS = M^1U/2.

Группируя слагаемые с учетом = ReS – iImS, запишем

= Y₀ + 0.5M^–1UФ(t₀)A.

Отсюда выражение вектора постоянных интегрирования выглядит так

А = 2Ф(–t₀)U^–1М[– Y₀ + ]. (10)

При записи (10) принято во внимание условие (5): det U  0, справедливое для упругой системы и используемое далее. Окончательно уравнение реакции ДДС при свободных колебаниях принимает вид (7)

Y(t) = Re [Ф(t)A] = 2Re {Ф(t–t₀)U^–1М[– Y₀ + ]}. (11)

Дифференцирование этого уравнения по времени приводит к выражению вектора скоростей

(t) = 2Re {SФ(t–t₀)U^–1М[– Y₀ + ]}. (12)

Матричные уравнения (11), (12) представляют в замкнутом виде полную систему для определения динамической реакции ДДС при свободных колебаниях с произвольным демпфированием при заданных начальных условиях.

Среди работ в этом направлении отметим статью Л.М. Резникова, где также получено замкнутое решение для эквивалентной модели многомассовой системы с вязким и частотно независимым трением. В отличие от уравнений (11), (12) разрешающие уравнения ДДС выражены через матрицу спектра  (S = PP^–1) и имеют более сложный вид. Замкнутая форма решения достигалась иным путем, не связанным с анализом МКУ, а основывалась на сведении исходной алгебраической проблемы к вспомогательной спектральной задаче с удвоенным порядком матриц.

Лекция 5

ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ УПРУГОЙ

ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ (продолжение)

2. АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ

Для решения задачи вынужденных колебаний упругой ДДС необходимо рассмотреть матричное неоднородное дифференциальное уравнение движения



M (t) + C (t) + KY(t) = P(t), (13)

совместно с начальными условиями: Y(t₀) = Y₀, (t₀) = (2)

где M = diag (m₁, ... , m_n), C = С^Т, K = K^T  М_n (R) – матрицы масс, демпфирования и жесткости;

Y (t), P(t)  M_n,1 (R) – векторы перемещений, скоростей и ускорений узлов упругой системы.