Структура решения и формы мку

Приведение МКУ к системе двух матричных уравнений.

Учитывая (3), (4), (5), приходим к двум матричным равенствам:

S^TA + AS + B = U, (6)

S^TAS – C = US, (7)

где U = U^Т – одно из решений матричного уравнения (5).

М атрица S является решением МКУ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет двум матричным равенствам:

Анализ уравнения (6)  структура матричных корней. Преобразуем (6) к виду:

[S^TA + (B – U)/2] + [AS + (B – U)/2] = 0.

Обозначим V = 2[AS + (B – U)/2]  (V^T + V)/2 = 0. Отсюда следует свойство матрицы V :

V = –V ^T

V – кососимметрическая матрица.

Следовательно, решение МКУ имеет вид

AS = (–B + V + U)/2, (8)

где V = –V^T, U = U^Т.

Таким образом, искомая матрица S  М_n выражается через две неизвестных матрицы V и U, структура которых известна.

П ри det A  0 матричный корень МКУ имеет вид:

S = A^–1(–B + V + U)/2. (9)

Анализ уравнения (7): S^TAS – C = US. Учитывая (9), получим

(–B – V + U)A^–1(–B + V + U)/4 – C = UA^–1(–B + V + U)/2.

– (B + V )A^–1(–B + V) + UA^–1U – (B + V)A^–1U + UA^–1(–B + V) – 4C =

= 2UA^–1(–B + V ) + 2UA^–1U.

[(B + V)A^–1(B – V) – UA^–1U – 4C] + [UA^–1(B – V) – (B + V)A^–1U] = 0. (10)

Р ассмотрим матрицы, заключенные в квадратных скобках уравнения (10).

Матрица в первых квадратных скобках является симметрической, так как содержит алгебраическую сумму слагаемых, каждое из которых есть симметрическая матрица.

Р азность двух слагаемых во вторых квадратных скобках является кососимметрической матрицей, поскольку второе слагаемое (B + V)A^–1U по отношению к первому слагаемому UA^–1(B – V) является транспонированной матрицей.

Поэтому уравнение (10) распадается на два независимых уравнения:

(B + V)A^–1(B – V) – U A^–1U – 4C = 0,

UA^–1(B – V) – (B + V)A^–1U = 0. (11)

Т.о., задача отыскания решения S МКУ (1) равносильна проблеме определения значений V и U известной структуры из системы 2-х матричных уравнений (11).

1.5. Структура решения мку и свойства корней

П реобразуем в системе (10) первое уравнение. Представим в нем матрицу U как функцию от матрицы V: U = f(V). Для этого умножим обе части этого уравнения слева на матрицу A^–1 и замечая, что A^–1UA^–1U = (A^–1U)², получим (A^–1U)² = A^–1(B + V)A^–1(B – V) – 4A^–1C. Извлечем квадратный корень из обеих частей данного уравнения. Вместе со вторым уравнением в (11) будем иметь следующую систему:

A^–1U_1,2 =  A^–1U =  , (12)

UA^–1(B – V) = (B + V)A^–1U, (13)

где D = 4C – (B + V)A^–1(B – V) – матрица-дискриминант МКУ.

Д анный результат позволяет уточнить структуру матричных корней МКУ. Вследствие знака "", стоящего перед матрицей U в (12), искомая матрица (9) трансформируется в пару матриц

S_1,2 = A^–1(–B + V  U)/2, (14)

г де V = –V^T, U = U^Т (U = U₁ = –U₂).

Представление решения МКУ в виде (14) называется корневой парой МКУ.

Метод решения

Для вычисления матриц V, U применим итерационную схему. Система (12), (13), подготовленная для итераций (на k-м шаге), имеет вид

U^(k) = A , (15)

U^(k)A^–1(B – V^(k+1)) = (B + V^(k+1))A^–1U^(k), (16)

где D^(k) = 4C – (B + V^(k))A^–1(B – V^(k)).

Шаг метода требует отыскания матрицы-дискриминанта D^(k) в уравнении (15) при заданном значении кососимметрической матрицы V^(k). После извлечения корня квадратного из дискриминанта и вычисления значения симметрической матрицы U^(k) формируется матричное уравнение Ляпунова (16) [56]

U ^(k)A^–1V^(k+1) + V^(k+1)A^–1U ^(k) = U ^(k)A^–1B – BA^–1U ^(k)

относительно нового приближения V^(k+1). Так как правая часть уравнения является кососимметрической матрицей, то частное решение данного уравнения – кососимметрическая матрица. Найденное значение матрицы V^(k+1) служит основой для следующего k+1-го шага итераций.

О бобщенная теорема Виета

Теорема 1. Для того, чтобы матрицы S_i, S_j являлись решением МКУ и принадлежали одной корневой паре, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли матричным соотношениям:

S_i^TA + AS_j + B = 0, S_i^TAS_j – C = 0. (17)

(i  j; i, j = 1, 2)

Доказательство. Пусть S_i, S_j  D_n (i  j) и принадлежат общей корневой паре (14): S_1,2 = A^–1(–B + V  U)/2. Тогда при i = 1: S₁ = A^–1(–B + V + U)/2, при i = 2: S₂ = A^–1(–B + V – U)/2. Подстановка данных корней в левые части формул (17) приводит оба выражения к тождествам.

Обратно, пусть S_i, S_j  М_n удовлетворяют формулам (17). Умножая обе части первого равенства в (17) справа на S_j и вычитая второе равенство, получим AS_j² + BS_j + C = 0, т.е. S_j  D_n. Точно также, умножая обе части первого равенства слева на S_i^Т, вычитая второе равенство и транспонируя полученное выражение, приходим к AS_i² + BS_i + C = 0, т.е. S_i  D_n.

Пусть матрица S имеет невещественные элементы. Тогда справедлива следующая

Т еорема 2. Для того, чтобы матрицы S, S принадлежали одной корневой паре, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли матричным соотношениям:

S^*A + AS = – B, S^*AS = C. (17)

Свойства корневых пар

Если собственные значения квадратичной спектральной задачи все различны, то число решений МКУ (1) равно числу сочетаний С .

Пусть все собственные значения квадратичной спектральной задачи различны. Принимая во внимание (1.27), все решения МКУ (1.1) можно представить в виде множества корневых пар однотипной структуры:

= A^–1(–B + V^(k)  U ^(k))/2 (k = 1, 2, ... ). (18)

Пусть S_i, S_j  D_n. Для того, чтобы матрицы S_i, S_j принадлежали разным корневым парам S^(k) = A^–1(–B + V^(k)  U^(k))/2, S^(l) = A^–1(–B + V^(l)  U^(l))/2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось матричное соотношение

S_i^(k)TA + AS_j^(l) + B = U₀  0. (19)

Для того, чтобы матрицы S_i, S_j принадлежали одной корневой паре (i  j; i, j = 1, 2), необходимо и достаточно, чтобы в (19) U₀ = 0, т.е.

S_i^TA + AS_j = –B. (20)

Построение фундаментальной матрицы

Если матрицы S_i, S_j принадлежат разным корневым парам (k  l), то в спектрах этих матриц содержатся общие характеристические числа. И наоборот, если матрицы S_i, S_j принадлежат одной корневой паре, то в спектрах этих матриц нет общих характеристических чисел.

Фундаментальная матрица Ф(t) имеет вид

(t) = e^St,

где S – решение МКУ. Фундаментальная матрица Ф(t) раскладывается в бесконечный ряд по степеням матричного аргумента S

(t) =

Матрица внутренних динамических характеристик системы

Пусть S  D_n. Выполним для S разложение в базисе собственных векторов:

S = PP^–1, (21)

где  – диагональная матрица спектральных (внутренних) характеристик динамической системы; P – матрица собственных форм (векторов) демпфированных колебаний. Матрица  имеет вид

 = diag (₁, ... , _n) = –G + iW, (22)

где G = –Re = diag(₁, ... , _n), W = Im = diag(₁, ... , _n) – матрицы коэффициентов демпфирования и собственных частот демпфированных колебаний, определяемые соответственно действительной и мнимой частью .

Следовательно, решения МКУ (14) содержат в себе всю информацию о собственных колебаниях ДДС. Собственные числа и собственные векторы корня S имеют реальный физический смысл. Любое собственное число _k матрицы S есть совокупность двух параметров: коэффициента демпфирования _k и частоты собственных колебаний _k, заключенных соответственно в действительной и мнимой частях числа _k = –_k + i_k. Принадлежащий этому числу собственный вектор P_k является k-й собственной формой демпфированных колебаний дискретной системы.

Следует отметить, что характеристическое уравнение (1), так же как и уравнение (2), обладает строгим физическим смыслом. В матричном виде (2) выражает условия равновесного состояния узлов диссипативной системы в процессе ее движения по каждой собственной форме колебаний ДДС. В связи с этим МКУ (1) будем называть уравнением движения собственных форм колебаний, а матрицу S – матрицей внутренних динамических характеристик.