Основы теории внутреннего трения

Коэффициент поглощения энергии

 =

W – работа, совершаемая силами внутреннего трения за один цикл деформации (пропорциональна площади замкнутой петли гистерезиса);

W – работа упругих сил за четверть цикла при возрастании деформации от 0 до максимума (пропорциональна площади заштрихованного треугольника);

y₀, y_н – амплитуды соответственно упругой и неупругой деформации (рис. 3, б).

Рис. 4. Свободные затухающие колебания

При свободных колебаниях (рис. 3, в, 4), когда амплитуда деформации становится переменной, коэффициент поглощения  равен

 = – ,

где T – период цикла колебаний.

Работа упругих сил за четверть цикла

W = y₀(t)²,

Коэффициент поглощения

 = – 2 = 2ln = 2,

Коэффициент потерь (коэффициент неупругого сопротивления)

 =

Физический смысл коэффициента неупругого сопротивления

 =

где y_ст – перемещение системы при статическом действии силы (амплитуда гармонической возмущающей силы); y_рез – максимальная амплитуда колебаний при резонансе.

Значения коэффициентов , ,  = /2 для

Строительных конструкций

Стальные мосты:  = 0,17;  = 0,027;

Стальные дымовые трубы:  = 0,11;  = 0,0175;

Ж/б ребристые перекрытия:  = 0,57;  = 0,091;

Ж/б балки:  = 0,56;  = 0,089;

Ж/б рамы:  = 0,38;  = 0,061;

Ж/б мосты:  = 0,63;  = 0,1;

Деревянные клееные балки:  = 0,12;  = 0,019;

Пропорциональное демпфирование – демпфирование, при котором коэффициенты потерь во всех частях системы одинаковы. Если коэффициенты потерь в разных частях системы различны, то демпфирование является непропорциональным.

Лекция 4

А нализ матричного квадратного уравнения (мку)

М атричное уравнение

AS² + BS + C = 0, (1)

где А = A^T, B = B^T, C = C^T  M_n(R) – заданные симметрические вещественные матрицы, S  M_n(C) – искомая матрица, будем называть МКУ с симметрическими коэффициентами.

Матрица S, удовлетворяющая (1), – решение (или корень) МКУ.

Множество всех решений условимся обозначать через D_n.

Традиционные алгоритмы решения МКУ (1)

основаны на использовании ортогональных методов, созданных в 70-х годах XX века. Существенным недостатком численных алгоритмов является то, что в своей основе они не оперируют знаниями специальных свойств решений МКУ, а также не учитывают соотношений между матрицами-коэффициентами МКУ: А, B, C.

Ортогональные методы, являясь численными методами, неприспособленны к эффективному построению общего интеграла ОДУ:

A (t) + B (t) + CY(t) = 0. (2)

Поэтому требуется разработки аналитических процедур по решению МКУ (1), позволяющие устанавливать функциональную связь между матричным корнем S и матричными коэффициентами А, B, C.

Форма представления МКУ

US –  = 0, (3)

где:

U = S^TA + AS + B,  = S^TAS – C. (4)

матрица S является решением МКУ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению (3).

Т.к. U = U ^T,  =  ^T, то из (3) следует

S^TU = US. (5)