1.2. Матричные соотношения, зависящие от свойств материала
Для любой упругой ДДС имеют место условия невырожденности
det S 0, det U 0. (14)
Отсюда, при малой диссипации упругой ДДС, характерной для реальных условий колебаний строительных конструкций, справедливы свойства
V, iU Mn(R) (i мнимая единица); (15)
Sk
= S,
Sl
=
(k,
l
= 1, 2; k
l);
MS + S*M = –C, S*MS = K, (16)
где S* – сопряженная матрица: S* = Т.
Из условия (11) следует, что при малой диссипации упругой ДДС элементы матрицы V всегда вещественны, а матрицы U – мнимые. Это приводит к системе соотношений (12), а именно: комплексно-сопряженным решениям МКУ в корневой паре (3) и более упрощенной записи формул Виета (7).
Формулы (10)–(12) могут выполняться и для упругопластической системы. В частности, условие det S 0 в (10) будет выполняться до тех пор, пока матрица жесткости K в (7) будет невырожденной, хотя само изменение значения K свидетельствует о нелинейных процессах, протекающих в колебательной системе.
При выполнении условий (10) имеет место следующая группа соотношений
S1
= –K1(C
+ V
+
U)
/
2;
A = (US)–1 = S–1U–1 = –K1/2 – K1(C + V )U1 / 2,
B = SU–1 = U–1ST = M1 / 2 – U1(C + V )M1 / 2,
D = SU–1M = U–1STM = U–1K, (12)
G = U–1M = U–1(ST)–1K = (US)–1K = AK.
Первая формула в (12) вытекает из второго соотношения Виета в (11): S1 = K1S*M с последующей подстановкой в правую часть матричного корня из (4) при S2 = . Остальные формулы в (12), с учетом (10), дают следующие дополнительные свойства:
Re
A
= –K1
/
2, Re
B
= M1
/
2 ,
Re D = 0, Re G = (Re A)K = –E / 2 (13)
(E – единичная матрица).
Заметим, что свойства (9) – (12) могут выполняться не только для задач колебаний упругих ДДС, но и для задач с физической и конструктивной нелинейностью.
Лекция 3 п онятие о Внутреннем трении в линейных системах с одной степенью свободы
П
ри
циклических деформациях конструкции
часть энергии этих деформаций необратимо
поглощается и рассеивается в виде тепла
во внешнюю среду вследствие:
- внутреннего трения в материале;
- трения проскальзывания в соединениях элементов конструкций (конструкционное трение);
- внутреннего трения в деформируемом основании;
- внешнего сопротивления (трения скольжения в опорах и аэродинамическое сопротивление).
Внутреннее трение в строительных конструкциях играет важную роль. Благодаря чему происходит быстрое затухание свободных колебаний конструкций, вызываемых ударной нагрузкой, а также ограничение амплитуд резонансных колебаний при действии периодических (вибрационных) нагрузок.
Рис. 3
a) Идеально упругая система без трения;
б) Система с внутренним трением при гармонических колебаниях;
в) То же при свободных колебаниях
В идеальной циклической системе внешняя циклическая сила P прямо пропорциональна упругому перемещению y. Это перемещение при нагрузке и разгрузке имеет вид прямой линии на графике. В реальной системе присутствует внутреннее трение и зависимость между нагрузкой и перемещением становится нелинейной. Эта зависимость двузначна, при установившихся циклах нагрузки и разгрузки имеет вид замкнутой кривой (петля гистерезиса). При гармонических колебаниях петля представляет эллипс. При свободных колебаниях зависимость преобразуется в эллиптическую спираль.
