Замена переменной в неопределенном интеграле.

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Рассмотрим функцию t=φ(x), где φ(x) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на данном промежутка функция. Если на соответствующим промежутке изменения t функции f(t), интегрируема, то

Действительно, пусть F(t) первообразная для f(t):

Тогда функция будет первообразной для функции

Отсюда следует, что

Формула:

(1)

Заменяя по формуле (1) переменную интегрирования в интеграле некоторой переменной x: t=φ(x), мы сведем нахождение данного интеграла к нахождению интеграла .

После нахождения интеграла надо вместо t подставить его в выражение через x.

Пример. Найти интеграл .

Обозначим через t=x-1.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Обозначим , тогда и, следовательно,

2. . Обозначим , тогда и, значит

3. . Применим подстановку , тогда

Аналогично берутся интегралы от и т. д.

В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интегралы.

Интегрирование по частям

Пусть функции непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке.

Интегрируя тождество получим:

Откуда следует, что

(1)

Формулу (1) обычно записывают в виде:

(1*)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Правильнее было бы назвать ее формулой частичного интегрирования. При известных и и v она сводит нахождение интеграла от udv после частичного интегрирования к нахождению интеграла от vdu. Иногда удается функции и и v выбрать так, что новый интеграл либо сам является табличным, либо сводится к табличным интегралам уже известными методами. Рассмотрим ряд примеров.

1. . Полагаем Тогда и, значит, по формуле (1)

Интеграл в правой части равенства табличный:

Окончательно получаем:

Примечание 1. При отыскании v по известному dv достаточно найти одну какую-либо первообразную. Нетрудно видеть, что прибавление к ней произвольной постоянной не меняет результата интегрирования, усложняя решение.

Примечание 2. Если в примере 1 положить , то

и, значит, по формуле (1)

Этот выбор а и dv неудачен, так как новый интеграл «сложнее» данного. В общем случае нельзя указать рецепта для выбора в подинтегральном выражении и и dv. Рекомендуется мысленно «прикидывать», что дадут те или иные обозначения.

2. . Здесь удобнее положить .

Тогда и, значит,

Иногда для получения окончательного результата приходится несколько раз последовательно применять формулу интегрирования по частям.

3. Пусть , тогда т. е.

Для нахождения интеграла положим т.е.

Окончательно получаем:

Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем метод замены переменной. Существуют, однако, классы функций, интегрируемых по частям. К ним относятся, например, функции вида , где α — любое действительное число, a P (х) — любой многочлен.

Интегралы от этих функций берутся методом интегрирования по частям, если положить

Р (х) = и, а оставшиеся «множители» взять за dv. После однократного интегрирования по частям получатся интегралы того же вида, но степень многочлена Р (х) понизится на единицу. После n-кратного применения формулы (1) останутся интегралы

сводящиеся к табличным.

4. Пусть тогда т.е.

Полагаем тогда

Окончательно получим:

Интегралы вида , где α – любое действительное число (α не равно нулю), а Р(х) – любой многочлен, также берутся методом интегрирования по частям, если положить

Интегрирование элементарных дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование элементарных дробей

Элементарными дробями называются дроби следующих четырех типов:

где m, n натуральные числа

Выясним, как интегрируются элементарные дроби.

Интегралы подстановкой t=ax+b сводятся к табличным интегралам:

(1)

(2)

3) Прежде чем рассмотреть вопрос о нахождении интеграла вида

рассмотрим частный случай, когда М = 0, N=1,

т. е. рассмотрим интеграл

3),а.

Преобразуем квадратный трехчлен

Тогда данный интеграл можно переписать в следующей форме:

Обозначим (3)

Заметим, что по условию s.0. Тогда

Таким образом, выделением квадрата двучлена интеграл 3, а сводится к табличному интегралу.

Теперь рассмотрим интеграл 3. Сначала преобразуем знаменатель так, как было сделано для частного случая, и применим подстановку (3). Тогда

К первому из интегралов применим подстановку

Нахождение интеграла 3 сводится к двум табличным интегралам 2, 4.

Пример 1.

.

Для решения примера 1 нам надо будет в знаменателе выделить квадрат двучлена. Для того чтобы упростить технические выкладки, полезно, если коэффициент при не является квадратом целого числа, умножить предварительно числитель и знаменатель на учетверенный коэффициент при (в данном случае на 12):

Обозначим и подставим в данный интеграл:

Примечание 1. Если у квадратного трехчлена по определению не является элементарной дробью, однако ее также можно интегрировать предложенным методом.

Пример2. Для решения примера нам надо будет в знаменателе выделить квадрат двучлена.

Примечание2. Интегралы от иррациональных функций вида также можно брать методом, аналогичным указанного для интеграла 3.

Пример3.

4. Прежде, чем рассмотреть интеграл вида , рассмотрим случай, когда M=0, N=1, т.е. интеграл вида .

Как было, показано, выделением квадрата двучлена и соответствующей заменой квадратный трехчлен может быть выражен через квадратный двучлен .

Поэтому нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла . (4)

Преобразуем предварительно интеграл (4)

(5)

Интеграл будем брать по частям; для этого обозначим

(6)

Подставим найденное значение интеграла в равенство (5);

(7)

Получившееся равенство позволяет интеграл выразить через интеграл , т.е. понизить степень значение знаменателя в подинтегральном выражении на единицу. Применяя формулу (7) последовательно (n-1) раз, приведем к табличному интегралу .

Формулу (7) можно применять и тогда, когда . В этом случае указанные преобразования в конечном итоге приведут к табличному интегралу Х: .

Формула (7) называется рекуррентной.

Пример 4. . Применим формулу (7). В данном случае u=x, s=5, n=3.

В общем случае интеграл берется следующим образом: преобразуют квадратный трехчлен и делают подстановку

. Тогда

В последнем равенстве первый из интегралов подстановкой приводится к табличному интегралу , а второй берется по рекуррентной формуле (7).

Пример 5.

25