2. Кремер н.Ш. Математика для экономистов. М.:юнити- дана. 2010.

Перечень средств обучения

1. Презентации.

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Различные вопросы математики, теории вероятности, математической статистики приводят к решению обратной задачи восстановлению функции по заданным ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка или .

Для всякой непрерывной на данном промежутке функции существует первообразная.

Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной решается неоднозначно, если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то функция F(x)+C, где С – любое число, также будет первообразной.

для любого С, т.е. F(x)+C – первообразная.

Т.о., если функция f(x) имеет одну первообразную F(x), то она имеет их бесчисленное множество.

Покажем теперь, что выражение F(x)+C, где С – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции f(x) на данном промежутке.

Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то любая другая первообразная для f(x) (на том же промежутке) может быть записана в виде F(x)+C, где С – некоторое число.

Итак, если известна одна какая либо первообразная F(x) функции f(x) на данном промежутке, то совокупность всех ее первообразных, охватывается выражением F(x)+C, где F(x) – какая-либо первообразная, для f(x), а С – произвольная постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функции f(x) на данном промежутке вида F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом .

Таким образом, по определению

, где F(x) – какая-либо первообразная для f(x), а С – произвольная константа.

Функция f(x) – называется при этом подинтегральной функцией, выражение f(x)dx – подинтегральным выражением, х – переменной интегрирования, символ - знак интеграла.

и т.д.

Определение. Отыскание первообразной и отыскание неопределенного интеграла от данной функции f(x) называется интегрированием этой функции.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Для того, чтобы проверить правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подинтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следует, что:

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная С.

4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная С.

Каждое из свойств 1-4 выражает тот факт, что интегрирование есть операция обратная дифференцированию.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак непоределенного интеграла.

6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций (если каждый из них существует).

7.

Таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3.

4.

5.

6.

7. .

8. .

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Непосредственное интегрирование.

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов, можно интегрировать некоторые элементарные функции (так называемое непосредственное интегрирование).

Для того, чтобы проинтегрировать сумму функций, необходимо заменить суммой интегралов от слагаемых.

Задача интегрирования принципиально труднее задачи дифференцирования. В дифференциальном исчислении имелось конструктивное определение производной, и ряд теорем, дающих правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложных, обратных функций. В интегральном исчислении неопределенный интеграл определяется не конструктивно, правил для интегрирования произведения, частного, сложных, обратных функций нет. Имеются лишь определенные приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций.