22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Вид уравнения:

Метод вариации произвольных постоянных

Метод подбора частного решения

Если - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения находится по формуле

,

если

где находится из системы уравнений

Частный случай:

,

где и находятся из системы уравнений

 найти и

где - постоянные

- специальный вид правой части неоднородного уравнения (пусть )

Частное решение ищется в виде

, где – кратность корней характеристического уравнения:

То есть зависит от правой части и от корней характеристического уравнения.

Структура общего решения:

,

где - общее решение соответствующего однородного уравнения,

- частное решение неоднородного уравнения.

Если - частное решение уравнения

- частное решение уравнения

,

то - частное решение уравнения

№ п/п

Понятие

Определение и обозначение

1.

Ряд

2.

Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда

- бесконечная числовая последовательность, где

3.

Частичные суммы ряда

4.

Последовательность частичных сумм

5.

Сходящиеся ряды

, где – сумма ряда

6.

Расходящиеся ряды

7.

Остаток ряда

Основные свойства сходящихся рядов

сходится

- сходится

сходится, – его сумма

сходится, - его сумма

сходится, – его сумма

- сходится

сходится, – его сумма

- его сумма

Необходимый признак сходимости ряда

- сходится

Замечание:

- расходится

Определение - действительные числа

Некоторые ряды и их поведение

1

Гармонический ряд расходится

2

Обобщенный гармонический ряд при

3

Ряд геометрический

при

В частности при ряды

расходится

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Признаки сравнения

Интегральный признак Коши

Признак Даламбера

Признак Коши

(1)

(2)

,

: непрерывная, положительная, невозрастающая

Замечание:

1.

где ,

(при  )



и

одновременно сходятся или расходятся

а) - сход.

б) - расход.

а) - сход.

б) - расход.

2. а) сход.



сход

Замечание:

1. Если , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда.

2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода:

сход., расход.

б) расход.



расход.

Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды и