4. Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

1.

2. (см. 1).

3. (см. 1).

4. (см. 1).

5. (см. 1).

6. (см. 1).

7. (см. 1).

8.

9. (см. 8).

10. (см. 8).

11. (см. 9).

12. (см. 8).

13. (см. 8).

14. .

15. .

16. .

17. .

1. .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7.

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

Условие

Определение и обозначение

Геометрическая иллюстрация сходящихся интегралов

1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

- непрерывна на ,

где

- непрерывна на ,

где

- непрерывна на ,

где

интеграл сходится, если сходятся оба интеграла

2. Интегралы от неограниченных функций

- точка бесконечного разрыва

- точка бесконечного разрыва

- точка бесконечного разрыва

интеграл сходится, если сходятся оба интеграла сходятся

Замечание 1. Если при отыскании предела окажется, что он не существует, то несобственный интеграл типа 1 и 2 называется расходящихся

3. Теоремы сравнения

- сходится, , - сходится,

- сходится  - сходится абсолютно

- расходится, - расходится

Замечание 2. Теоремы сравнения имеют место и для всех интегралов типа 1 и 2

Определение функции

Графическое изображение

Множество равных уровней

Предел функции

Непрерывность

(функция отображает множество на множество )

В частности,

1. , .

2. , .

, .

- график функции

, где - линия уровня

, где - поверхность уровня

, если

1. определена в некоторой окрестности точки ;

2. :

выполняется

.

Замечание. Предел функции не зависит от способа стремления т. к т.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. определена в точке и некоторой ее окрестности ;

2. ;

3. или

где

Частные производные

Дифференциал

Определение

Геометрическое изображение

Определение

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

,

В частности, ,

;

Замечание. Частная производная по переменной находится по правилам дифференцирования функции одной переменной, причем, остальные переменные рассматриваются как постоянные.

, , т.

;

- дифференцируемая функция в т.

,

где при .

- главная часть приращения – дифференциал

,

,

В частности, ,

,

,

где

Сложные функции и их дифференцирование

Неявно заданные функции и их

дифференцирование

1 . , где , . - полная производная

2 . , где ,

3 . где - полная производная

Уравнение определяет неявное задание функции переменных и .

,

, где

Приложения дифференциального исчисления

Экстремум функции 2-х переменных

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение

Необходимые условия существования экстремума

Достаточные условия существования экстремума

1) - уравнение поверхности

-

уравнение касательной плоскости

-

2) - уравнение поверхности.

- уравнение кас. плоскости

-

уравнение нормали к поверхности

- стационарная точка функции .

Замечание. Экстремум возможен и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует

.

1.

а) -

т.

б) -

т.

2. - в точке нет экстремума

3. - требуются дополнительные условия