8. Оптимальное распределение массы ракеты-носителя по ступеням и расчет стартовой массы ракеты

Выбор характеристик масс ступеней ракеты-носителя осуществляется в результате решения оптимизационных задач.

Прежде чем приступить к задачам оптимизации масс ракетных блоков, напомним постановку задач математического программирования.

8.1. Задачи математического программирования

Общая запись задачи математического программирования следующая:

, (8.1) где - целевая функция параметров ;

- запись ограничений (Н – множество допустимых значений параметров );

n – количество переменных.

Ограничения могут быть двух типов:

а) , (8.2) где m – количество переменных, по которым имеются ограничения;

б) , (8.3) где – функция ограничений;

r - количество ограничивающих функций.

Задача означает: найти минимальное значение целевой функции и соответствующие значения переменных при наличии ограничений типа и (или) ограничений типа .

В учебной и научной литературе встречается другая форма записи задач математического программирования:

(8.4)

Задача означает: найти значения вектора , которые доставляют минимум целевой функции при наличии ограничений типа и (или) ограничений типа .

Методы решения задач математического программирования подразделяются на аналитические и численные. К аналитическим методам относится, например, метод неопределенных множителей Лагранжа. Самыми простыми из численных методов являются метод перебора и метод случайного поиска.

8.2. Постановка и решение задачи оптимального
распределения массы ракеты-носителя по блокам
методом неопределенных множителей Лагранжа

Аналитические решения такого рода задач возможны только для некоторых частных случаев. Приведем решение этой задачи для двухступенчатой ракеты с последовательным соединением ступеней.

8.2.1. Постановка задачи

Оптимальным распределением масс топлива и масс конструкции блоков по ступеням будем считать такое распределение, при котором обеспечивается минимальная стартовая масса ракеты при заданной массе полезной нагрузки, или минимальное отношение стартовой массы ракеты к массе полезной нагрузки (что равносильно) и выполнении ограничений для располагаемой и потребной характеристических скоростей, то есть

где

. (8.5)

Поскольку характеристики и считаются заданными, то вместо этой функции можно исследовать на экстремум следующую функцию:

. (8.6)

Рассмотрим функцию ограничений по скорости.

Располагаемая характеристическая скорость ракеты-носителя должна быть равна (или больше) потребной характеристической скорости, необходимой для вывода КА на орбиту с заданными параметрами , или

. (8.7)

На основании формулы Циолковского можем записать

, (8.8) где - удельные импульсы соответствующих ступеней.

Следовательно, функция ограничений будет выглядеть следующим образом:

. (8.9)

Применительно к аналитическим методам решения такого рода задач функция ограничений имеет вид

. (8.10)