Литература

1. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. – М.: Высшая школа, 1976. – 392 с.

2. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Иностранная литература, 1962. – 319 с.

3. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. – 384 с.

4. Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. – 168 c.

5. Ковалев В. Н. Организация вагонопотоков на сети российских железных дорог России в условиях формирования отрасли. – СПб.: Выбор, 2002. –143 с.

6. Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 3. – М.: Изд. дом «Вильямс», 2000. – 822 с.

7. Колмогоров А. Н., Успенский В.А. К определению алгоритмов // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13, вып. 4. – с. 3 – 28.

8. Кристофидес К. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1978. – 432 с.

9. Марков А. А. Теория алгоритмов. Труды МИАН СССР, 1954. Т. 42. – 374 с.

10. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. Учебник для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2005. – 364 с.

11. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1968. – 336 с.

12. Салий В. Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. – М.: Физ-мат. Лит., 1997.

13. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977. – 208с.

14. Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973. – 300 с.

15. Хопкрофт Д. Э., Мотвани Р., Ульман Д. Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд.; пер.с англ. – М.: Изд. дом «Вильямс», 2008. – 528 с.

16. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.: Мир, 1974. – 519 с.

17. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Задачи линейного программирования транспортного типа. – М.: Наука, 1969.

18. Bertsekas, D. P. Network optimization: continuous and discrete models. – Athena Scientific, Belmont, Massachusetts. – 1998. – 270 p.

19. Busucker R. G., Gowen P. J. A procedure for determing a family of minimal- cost network flow patterns.// ORO: Technical Rep. 15, 1961.

20. Klein M. A primal method for minimal cost flows. – Management Sci. 1967. Vol. 14. N 3. P. 205 – 220.

21. Syslo M. M., Deo N., Kovalik J. S. Discrete optimization algorithms. – New Jersey: Prentice-Hall, 1983. – 541p.

22. Wu, Bang Ye. Spanning trees and optimization problems. – Chapman & Hall/CRC, 2004. – 191 p.

Оглавление

Глава 1. Основные понятия теории графов………………...…………1

§ 1. Основные определения……………………………………………1

§ 2. Виды графов………………………………………………………4

§ 3. Примеры приложений теории графов………………..………….7

§ 4. Изоморфизм графов………………………………………………8

§ 5. Степень вершины…………………………………………….…...9

§ 6. Подграфы, операции над графами……………………………....12

§ 7. Маршруты, цепи, циклы…………………………………..………16

§ 8. Метрические и топологические характеристики графов……….17

§ 9. Связность в орграфах……………………………………………..21

Глава 2 Алгоритмы…………………………………………….……..23

§ 1. Сложность алгоритмов…………………………………………..23

§ 2. Машины Тьюринга……………………………………….…..….24

§ 3. Классы Р и NP…………………………………………………….27

Глава 3 Экстремальные пути в графах……………………………….29

§ 1. Хранение графов в памяти компьютера……………….……….29

§ 2. Алгоритмы построения кратчайших путей……………………..33

2.1. Алгоритм Дейкстры……………………………………………..34

2.2 Алгоритм Беллмана-Форда построения дерева кратчайших путей для сети с произвольными весами…………………………………………41

§ 3. Задача о максимальном пути……………………………………..42

§ 4. Примеры NP-трудных задач на графах и сетях………………….44

Глава 4 Деревья………………………………………………………..46

§ 1. Определение дерева……………………………….………………47

§ 2. Задача полного перебора всех деревьев данного порядка. Код Прюфера. Теорема Кэли…………………………………………………………….51

§ 3. Задача о построении остова минимального веса……….………..57

3.1 Алгоритм Краскала………………………………………………..62

3.2 Алгоритм Прима…………………………………………………..66

§ 4. Метрические характеристики дерева…………………………….68

§ 5. Задача о построении остова наименьшего диаметра……………78

Глава 5 Потоки в сетях……………………………………….………..83

§ 1. Потоки и разрезы…………………………………………………..84

§ 2. Задача о максимальном потоке…………………….……………..92

§ 3. Поток минимальной стоимости………………………..………..104

Глава 6 Применение сетевых методов к решению задач линейного программирования транспортного типа………………………………118

§ 1. Эквивалентность экстремальных задач……………...………….119

§ 2. Классическая транспортная задача…………………..………….124

§ 3. Операции над Т-сетями………………………………………..….127

§ 4. Оптимальное планирование вагонопотоков с учетом возврата порожних вагонов…………………………………………………………………...128

Литература……………………………………………….………………136

1⁾ В современной научной литературе раздел прикладной математики, изучающий задачи, возникающие при поиске оптимальной в том или ином смысле конструкции сети, называется NETWORK DESIGN.

2⁾ На самом деле . Это число столь велико, что во всех практических приложениях можно считать, что .

3⁾ Заметим, что способ задания дерева матрицей смежности крайне неэффективен. Его используют обычно для простоты в учебных целях. На практике для хранения больших деревьев используют специальные методы, основанные на списках смежности.

4⁾ Традиционно в задачах о потоках носители потоков называются сетями, несмотря на то, что веса дуг графа могут быть не заданы.