§ 4. Оптимальное планирование вагонопотоков с учетом возврата порожних вагонов

В этом параграфе рассмотрим одну из типичных задач оптимального планирования, встречающихся в современной практике организации вагонопотоков на российских железных дорогах [5]. Значительная часть современных грузовых перевозок на российских железных дорогах связана с вывозом сырьевых ресурсов из страны на экспорт. Во многих случаях этот вывоз осуществляется в два этапа. На первом этапе продукция из пунктов добычи сырья по железной дороге доставляется в морские порты, а на втором она доставляется в соответствующие пункты назначения морским путем. При этом возникает следующая задача организации движения вагонов.

Имеется пунктов производства некоторой продукции . В пункте имеется вагонов, загруженных этой продукцией. Имеется также возможных пунктов доставки этой продукции .

Предположим, что каждый пункт доставки может принять любое число вагонов с продукцией (имеется возможность складирования продукции в пунктах ). Одним из наиболее часто используемых показателей затрат, связанных с перемещением вагона из пункта отправления в пункт назначения, является среднее время, необходимое для этого перемещения.

Требуется доставить продукцию в пункты доставки, а затем вернуть порожние вагоны в пункты производства таким образом, чтобы соблюдался баланс числа вагонов, отправленных из пункта производства, и числа порожних вагонов, возвращенных в данный пункт, и чтобы при этом условии суммарные транспортные издержки (суммарное время) были минимальны. Реализация планов перевозок в современных условиях протекает в условиях дефицита вагонов. Одной из причин такого дефицита является сложности, возникающие при движении порожних вагонов при возврате. В то время как состав с гружеными вагонами при движении чаще всего является постоянным (и может рассматриваться как единое целое), размер состава с порожними вагонами может сильно варьироваться в процессе движения в результате отсоединения или присоединения попутных вагонов.

Число порожних вагонов в составе может в несколько раз превышать число их в составе с гружеными вагонами. Если число порожних вагонов недостаточно для формирования состава, то таким вагонам часто приходится ожидать формирования подходящего состава. Все это приводит к тому, что время возврата порожних вагонов из пункта в пункт в среднем примерно в два раза превышает время движения груженых вагонов из пункта в пункт , причем среднее значение превышения времени нахождения в пути сильно варьируется в зависимости от маршрута.

Пытаясь бороться с этой проблемой, операторские компании и производственные предприятия, владеющие собственным парком вагонов, в условиях договоров с железной дорогой оговаривают прямой и срочный возврат вагонов. Прямой возврат означает, что если вагон доставлял продукцию из пункта в пункт по заданному маршруту, то после разгрузки он должен быть доставлен из пункта в пункт по тому же маршруту в обратном направлении. Срочный возврат означает, что если продукция из пункта в пункт перевозилась составом вагонов, то после разгрузки состава из этих вагонов сразу же должен быть сформирован состав порожних вагонов для движения по обратному маршруту. Между тем прямой возврат может быть неоптимальным.

Действительно, допустим, что один вагон доставлял продукцию из пункта в пункт , а другой – из пункта в пункт , . Предположим, что имеется возможность незамедлительных возвратов вагонов из пункта в пункт и из пункта в пункт (присоединение их к попутным составам порожних вагонов), но нет возможности сразу же вернуть их из пункта в пункт и из пункта в пункт . Если при этом для ожидаемого времени возвратов выполняется неравенство

,

то в этом случае, очевидно, прямой возврат является неоптимальным.

Путем аналогичных рассуждений можно убедиться, что данную задачу нельзя свести к двум последовательно решаемым задачам, когда на первом этапе решается задача оптимальной доставки груженых вагонов в порты, а на втором – задача оптимального возврата порожних вагонов, в которой начальное их распределение определяется решением первой задачи.

Действительно, предположим, что порт является ближайшим для каждого из пунктов отправки сырья, но при этом время возврата порожних вагонов из этого порта в любой пункт отправки превышает время возврата из других портов (например, если порт перегружен, и прибывающим вагонам долго приходится ожидать разгрузки). Тогда оптимальное решение первой задачи даст план, согласно которому все вагоны следует направлять в порт , и даже оптимальное решение второй задачи приведет в результате к плану перевозок, который намного хуже оптимального плана в исходной задаче.

Перейдем к построению математической модели рассматриваемой задачи оптимального планирования.

Введем следующие обозначения: – число груженых вагонов, отправляемых из пункта в пункт ; – число порожних вагонов, отправляемых из пункта в пункт ; – время движения вагонов из пункта в пункт ; – время возврата порожних вагонов из пункта в пункт . Математическую модель рассматриваемой задачи можно записать в виде следующей задачи линейного программирования:

(6.8)

Для решения задачи (6.8) рассмотрим задачу о построении потока минимальной стоимости в сети , которая является результатом суперпозиции сетей и , т. е. . (Определение операции суперпозиции однополюсных транспортных сетей приведено в предыдущем параграфе). Структура сети показана на рис.6.2. Сеть имеет узла. Первое число на дуге – пропускная способность, второе стоимость транспортировки вагона по дуге. Верхний индекс узла сети указывает на его порядковый номер. При этом матрицы пропускных способностей и стоимостей определяются следующим образом.

Рис.6.2. Сеть , отвечающая движению груженых вагонов.

Сеть , отвечающая возврату порожних вагонов, также имеет узла, ее структура приведена на рис. 6.3. Первое число на дуге – пропускная способность, второе – стоимость транспортировки вагона по дуге. Верхний индекс узла сети указывает на его порядковый номер. Матрицы пропускных способностей и стоимостей определяются следующим образом:

Рис. 6.3. Сеть , отвечающая возврату порожних вагонов

Обозначим через – множество дуг сети , через – множество дуг сети , а через – множество дуг в сети . Из определения суперпозиции сетей следует, что . Пусть – множество потоков величины . Для каждого потока через и обозначим его сужения на множества и соответственно. Тогда задачу построения потока минимальной стоимости величины в сети можно записать в следующем виде:

(6.9)

Покажем, что задачи (6.8) и (6.9) эквивалентны. Для допустимого плана задачи (6.8) положим и поставим ему в соответствие поток в сети , для которого его сужения и на множества и определяются следующим образом:

(При определении потока использована исходная нумерация узлов в сети ).

Поток однозначно определяется своими сужениями и .

Положим, Из допустимости плана задачи (6.8) следует, что , а из определения матрицы стоимости в сети – выполнение равенства

. (6.10)

Наоборот, пусть – допустимый поток в сети , и – его сужения на множества и соответственно. Поставим ему в соответствие план задачи (6.8), в котором

.

(При вычислении потока использована исходная нумерация узлов в сети ).

Положим . Нетрудно видеть, что – допустимый план задачи (6.8) и выполняется равенство (6.10). Таким образом, задачи (6.8) и (6.9) -эквивалентны.