§ 2. Классическая транспортная задача

Имеется пунктов хранения некоторой продукции и заданы количества продукции в этих пунктах. Имеется также пунктов потребления продукции и заданы соответствующие потребности в этой продукции. Известно, что транспортные издержки на перевозку единицы продукции из пункта в пункт составляют единиц.

Требуется составить такой план перевозок , где – количество продукции, перевозимое из пункта в пункт , при котором вся продукция из пунктов хранения будет вывезена, все потребности будут удовлетворены и при этом суммарные транспортные издержки будут минимальными (предполагается, что выполнено уравнение баланса: ).

Эта задача может быть представлена в виде задачи линейного программирования:

(6.6)

Положим и покажем, что задача (6.6) эквивалентна задаче о построении потока минимальной стоимости величины в Т-сети, изображенной на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Т-сеть, соответствующая транспортной задаче (6.6).

Для Т-сети , представленной на рис. 6.1

Заметим, что разрезы и имеют величину и являются минимальными разрезами Т-сети . Поэтому множество потоков величины в Т-сети не пусто, и все эти потоки являются максимальными.

Известно также, что при выполнении условия баланса множество допустимых планов задачи (6.6) не пусто.

Пусть – множество потоков в Т-сети . Покажем, что задача (6.6) эквивалентна задаче

(6.7)

Каждому допустимому плану задачи (6.6) поставим в соответствие поток , где поток определяется следующим образом:

Каждому допустимому потоку задачи (6.7) поставим в соответствие план , где Очевидно, что при этом выполняется равенство . Следовательно, задачи (6.6) и (6.7) -эквивалентны. Заметим, что из максимальности потока и минимальности разрезов и следует . Поэтому в данном случае имеет место и структурное сходство множеств допустимых планов в задачах (6.6) и (6.7).

§ 3. Операции над т-сетями

Применение сетевых методов для решения задач линейного программирования транспортного типа требует некоторого искусства в конструировании соответствующих Т-сетей. В этом параграфе рассмотрим некоторые простейшие операции, часто используемые при таком конструировании.

Если имеются две однополюсные транспортные сети и , с непересекающимися множествами узлов, то через будем обозначать суперпозицию, или конкатенацию сетей и , т. е. однополюсную транспортную сеть, которая получается при отождествлении стока сети с источником сети . Если при этом число узлов сети равно , а число узлов сети равно , то результатом операции является сеть , в которой число узлов равно , при этом

Через будем обозначать однополюсную транспортную сеть с двумя узлами (дугу), через – транспортную сеть, полученную из сети добавлением дуги, соединяющей узел с номером и узел с номером , пропускная способность которой равна , а стоимость транспортировки единичного груза – . Наконец, через будем обозначать транспортную сеть, полученную из сети удалением дуги, соединяющей узел с номером и узел с номером .

Заметим, что последние две операции не изменяют числа узлов в исходной сети и, следовательно, не изменяют размерностей матриц пропускных способностей и стоимости. Фактически они сводятся к переопределению значений и для этих матриц.