Глава 6. Применение сетевых методов к решению задач линейного программирования транспортного типа

Задачи о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости, рассмотренные в предыдущей главе, являются, с абстрактной точки зрения, частным случаем так называемых задач линейного программирования (ЛП).

Задачами ЛП называются задачи нахождения минимума или максимума линейной функции от нескольких переменных при ограничениях, имеющих вид совокупности линейных равенств или неравенств. Несмотря на то, что методы решения произвольных задач ЛП в настоящее время хорошо разработаны, общие методы на практике оказываются малопригодными для задач о потоках из-за большой размерности этих задач. Число переменных в задачах о потоках равно числу дуг Т-сети, которое для реальных сетей часто оказывается слишком большим для эффективного применения общих методов решения задач линейного программирования. С другой стороны, задачи о потоках, рассматриваемые как задачи ЛП, обладают специальной структурой, благодаря чему для их решения разработаны эффективные методы решения (в частности, рассмотренные в предыдущей главе), пригодные для решения задач большой размерности.

Задачи линейного программирования транспортного типа так же обладают весьма специфической структурой и так же как для задач о потоках, для некоторых их типов разработаны эффективные методы решения, пригодные для решения задач большой размерности [17]. Оказывается, что между задачами ЛП транспортного типа и задачами о потоках существуют тесные и прозрачные связи, что позволяет для решения задач одного класса использовать методы решения, разработанные для задач другого класса, и наоборот. Цель данной главы продемонстрировать эти связи и показать, как методы, описанные ранее, можно применить к решению задач линейного программирования транспортного типа.

§ 1. Эквивалентность экстремальных задач

В этой главе будем рассматривать приложение алгоритма решения задачи о потоке минимальной стоимости к решению задач ЛП транспортного типа. Для формального обоснования корректности соответствующего метода нам понадобится понятие эквивалентности экстремальных задач.

Пусть и – вещественнозначные функции, заданные на произвольных непустых множествах и соответственно. Рассмотрим пару экстремальных задач:

(6.1)

и

(6.2)

Множества и называются множествами допустимых планов задач (6.1) и (6.2) соответственно, а их элементы и – допустимыми планами. Будем говорить, что задачи (6.1) и (6.2) эквивалентны, если существуют отображения и , такие, что:

1) для любого допустимого плана задачи (6.1);

2) для любого допустимого плана задачи (6.2).

Если отображения и , удовлетворяющие условиям 1) и 2), приведены в явном виде, то, подчеркнув это обстоятельство, будем называть задачи (6.1) и (6.2) (p,q)-эквивалентными. При этом допустимый план задачи (6.2) будем называть p-представлением плана задачи (6.1) в задаче (6.2), а допустимый план задачи (6.1) – q-представлением плана задачи (6.2) в задаче (6.1).

Замечание 6.1. Задачи с пустыми допустимыми множествами по определению считаются эквивалентными.

Допустимые планы и задач (6.1) и (6.2) называются оптимальными, или решениями задач (6.1) и (6.2), если для любого и и любого . Множества оптимальных планов в задачах (6.1) и (6.2) будем обозначать и соответственно. Задача (6.1) (задача (6.2)) называется разрешимой, если множество (множество ) не пусто. Если задача (6.1) разрешима, то величина называется значением задачи (6.1). Аналогично определяется значение задачи (6.2).

Предположим, что задачи (6.1) и (6.2) -эквивалентны, задача (6.1) разрешима и пусть – оптимальный план задачи (6.1), а – ее значение. Рассмотрим план задачи (6.2). По определению эквивалентных задач для любого допустимого плана задачи (6.2) имеем

. (6.3)

Следовательно, задача (6.2) также разрешима, ее значение совпадает со значением задачи (6.1), a – представления оптимальных планов задачи (6.1) являются оптимальными планами задачи (6.2). Таким образом, эквивалентные задачи одновременно либо разрешимы, либо неразрешимы, причем их значения (в случае разрешимости) совпадают. Из (6.3) также следует, что, найдя решение одной из эквивалентных задач и построив отображения и , реализующие эквивалентность этих задач, можно найти решение второй задачи, отобразив решение первой с помощью соответствующего отображения.

Отметим, что приближенное решение одной из пары -эквивалентных задач позволяет находить приближенное решение другой. Уточним это утверждение. Предположим, что задача (6.1) разрешима и пусть – произвольное положительное число.

Допустимый план задачи (6.1) называется -оптимальным, если . Если задачи (6.1) и (6.2) -эквивалентны, а план задачи (6.1) -оптимален, то

.

Следовательно, допустимый план задачи (6.2) является -оптимальным для этой задачи. Путем аналогичных рассуждений можно убедиться, что если на множествах допустимых планов и задач (6.1) и (6.2) заданы топологические структуры (т. е. определено понятие сходимости последовательности элементов этих множеств), задачи (6.1) и (6.2) являются -эквивалентными, причем если отображения и являются непрерывными в этих топологиях, то из сходимости последовательности допустимых планов задачи (6.1) при к оптимальному плану задачи (6.1) следует сходимость последовательности -представлений этих планов к оптимальному плану задачи (6.2) и, наоборот, из сходимости последовательности допустимых планов задачи (6.2) при к оптимальному плану задачи (6.2) следует сходимость -представлений этих планов к оптимальному плану задачи (6.1).

Через и будем обозначать образы множеств и при отображениях и в задачах (6.1) и (6.2) соответственно, т. е.

, .

Для множества R через и будем обозначать прообразы множества при отображениях и соответственно, т. е.

, .

Если R, то множества и называются множествами уровня в множествах и функций и соответственно.

Покажем, что введенное отношение эквивалентности на множестве экстремальных задач действительно является бинарным отношением эквивалентности, т. е. является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Эти свойства вытекают из следующего предложения.

Предложение 6.1. Для эквивалентности экстремальных задач (6.1) и (6.2) с непустыми допустимыми множествами необходимо и достаточно, чтобы

. (6.4)

Доказательство. Необходимость. Предположим, что задачи (6.1) и (6.2) -эквивалентны, и пусть . Обозначим – множество уровня функции . Множество не пусто. Выберем какой-нибудь элемент . Пусть . Тогда

.

Поскольку произвольно, то отсюда следует включение . Аналогично убеждаемся в справедливости противоположного включения:

.

Достаточность. Пусть . Для каждого множества уровней и не пусты. Зафиксируем и . Множества и разбиваются на множества уровней:

. (6.5)

Определим отображения и следующим образом. Если , то положим , если , то положим . Из соотношений (6.5) следует, что отображения и тем самым определены на множествах и соответственно. Если , то

,

а если , то

.

Отсюда и из соотношений (6.5) следует, что для любых и выполняются равенства

и .

Следовательно, задачи (6.1) и (6.2) -эквивалентны. ■

Следствие 6.1. Отношение эквивалентности на совокупности экстремальных задач является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Замечание 6.2. Приведенное определение понятия эквивалентности является полезным, если отображения и , реализующие эквивалентность задач, представлены в явном виде, и мы умеем решать одну из пары эквивалентных задач. Однако оно малопригодно при изучении структуры допустимых планов этих задач, поскольку формально эквивалентными могут оказаться задачи совсем разной структуры, как это видно из предложения 6.1. Однако если отображения и являются взаимно обратными, т. е. , то можно говорить и о структурном сходстве допустимых множеств задач (6.1) и (6.2).